宜昌市葛洲坝中学2022-2022学年第一学期高二年级期中考试试卷数学（理科）试题考试时间：2022年11月第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．设直线的倾斜角为，且，则满足（）A.B．C．D．2．用“辗转相除法”求得和的最大公约数是（）A．B．C．D．3．直线，当变动时，所有直线都通过定点（）A．B．C．D．4．圆关于原点对称的圆的方程为()A．B．C．D．5．有件产品编号从到,现在从中抽取件检验,用系统抽样确定所抽取的编号为()A.5,10,15,20,25B.5,15,20,35,40C.10,20,30,40,50D.5,11,17,23,296．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.48.49.49.99.69.49.7去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为()A．B．C．D．7．圆在点处的切线方程为（）A．B．C．D．8．是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于的颗粒物,也称为细颗粒物,一般情况下浓度(单位:-11-\n)越大,大气环境质量越差.如图所示的是宜昌市区甲、乙两个监测站某日内每日的浓度读数的茎叶图,则下列说法正确的是( )A.这10日内甲、乙监测站读数的极差相等B.这10日内甲、乙监测站读数的中位数中,乙的较大C.这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D.这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等9.点与圆上任一点连结的线段的中点的轨迹方程( )A.B.C.D.10．两圆与的公共弦长等于( )A.B.C.D.11.若实数满足则的取值范围为( )A.B.C.D.12．已知点,，，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是( )A.（0，）B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.=__________.14．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为____________．15．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为.-11-\n16.如图,已知直线与轴、轴分别交于,两点,是以为圆心,为半径的圆上一动点,连接,,则面积的最大值是第Ⅱ卷三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）17．（本题满分10分）在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边,且．(Ⅰ)确定角C的大小;(Ⅱ)若,且的周长为,求的面积．18．（本题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300)分组的频率分布直方图如图．(Ⅰ)求直方图中x的值；(Ⅱ)求月平均用电量的众数、中位数；(Ⅲ)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？-11-\n19．（本题满分12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角C-PB-A的余弦值.20．（本题满分12分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：(Ⅰ)画出数据对应的散点图；(Ⅱ)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(Ⅲ)据(Ⅱ)的结果估计当房屋面积为时的销售价格.附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，21．（本题满分12分）如图,在平面直角坐标系中,已知圆及点(Ⅰ)若直线平行于,与圆相交于两点,,求直线的方程;(Ⅱ)在圆上是否存在点,使得若存在,求点的个数;若不存在,说明理由.22．（本题满分12分）已知各项均为正数的数列,满足且.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设,若的前n项和为,求；(Ⅲ)在（2）的条件下,求使成立的正整数n的最小值．-11-\n宜昌市葛洲坝中学2022-2022学年第一学期高二年级期中考试试卷数学试题（理科）答案1—12.BDBACCDCADAB13.14.＋＝115.916.17．解：（1）因为，由正弦定理得，因为，所以.所以或.因为是锐角三角形，所以.（2）因为，且的周长为，所以a+b=5 ①由余弦定理得 ，即 ②由②变形得，所以ab=6，得.18.解：(Ⅰ)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1，解方程可得x＝0.0075.∴直方图中x的值为0.0075；(2分)(Ⅱ)月平均用电量的众数是＝230，------(4分)∵(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5可得a＝224.∴月平均用电量的中位数为224；--------(6分)(Ⅲ)月平均用电量为[220，240)的用户有0.0125×20×100＝25，月平均用电量为[240，260)的用户有0.0075×20×100＝15，月平均用电量为[260，280)的用户有0.005×20×100＝10，月平均用电量为[280，300)的用户有0.0025×20×100＝5，∴抽取比例为＝，--------(11分)-11-\n∴月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取25×＝5（户）．-------（12分）19.证明：（Ⅰ）由AB是圆的直径，得，由平面ABC，平面ABC，得．又，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC．因为平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC……………………………………………6分（Ⅱ）解法一：过C作CM//AP，则CM⊥平面ABC．如图（1），以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．第18题图（1）在Rt△ABC中，因为AB=2，AC=1，所以．又因为PA=1，所以A（0，1，0），B（，0，0），P（0，1，1）．故．设平面BCP的法向量为，则所以不妨令，则．因为设平面ABP的法向量为，则所以不妨令，则．-11-\n于是．由图（1）知二面角C-PB-A为锐角，故二面角C-PB-A的余弦值为…………………………12分（Ⅱ）解法二：如图（2），过C作CM⊥AB于M，因为PA⊥平面ABC，平面ABC，所以PA⊥CM．又因为，且平面PAB，平面PAB，所以CM⊥平面PAB．过M作MN⊥PB于N，连接NC，由三垂线定理得CN⊥PB，所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角．在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，第18题图（2）得，，．在Rt△PAB中，由AB=2，PA=1，得．因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以，所以所以在Rt△CNM中，，所以，所以故二面角C-PB-A的余弦值为…………………………12分20.（1）数据对应的散点图如图所示：-11-\n（2），，设所求回归直线方程为，则，故所求回归直线方程为（3）据（2），当时，销售价格的估计值为：（万元）21.解析：1.圆的标准方程为,所以圆心,半径为.因为,所以直线的斜率为,设直线的方程为,则圆心到直线的距离为因为,而,所以,-11-\n解得或,故直线的方程为或.2.假设圆上存在点,设,则,,即,即,因为所以圆与圆相交,所以点的个数为22．解：（1）∵，∵数列的各项均为正数，∴，∴，即所以数列是以2为公比的等比数列.∵，∴数列的通项公式.（2）由（1）及得，，∵，∴①∴②②-①得（3）要使成立，只需成立，即，∴使成立的正整数n的最小值为5.-11-\n附：双向细目表高_二_数学理_科期中考试命题双向细目表 题型题号考察知识点（非章节节点）预估难度系数能力要求分值备注 了解识记理解掌握灵活运用选择题 1 直线倾斜角月斜率 0.9√5 2 辗转相除法0.9√5 3 直线的定点问题0.9√5 4 圆的标准方程0.9√5 5 抽样方法0.9√5 6 样本的数字特征 0.8√5 7 圆的切线问题0.7√5 8 茎叶图0.8√5 9 求轨迹方程0.7√5 10 两圆的位置关系0.6√5 11 直线与圆的关系应用0.6√5 12 直线的特征量的理解应用0.4√5 填空题 13 k进制互化0.8√5 14 相切类求圆的方程0.7√5 15 程序框图0.7√5 16直线与圆的最值问题0.6√5 解答题 17 解三角形0.7√10 18 频率分布直方图、抽样方法0.8√12 19 线与面位置关系及计算0.7√12 -11-\n20 回归直线方程0.8√12 21 直线与圆、圆与圆的位置关系0.7√12 22 数列通项、求和及应用0.6√12 整套试题的难度系数0.7 -11-
