7概率（一）一、单选题．1．下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量．其中为随机事件的是（）A．①④B．①②③C．②③④D．②④2．某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是（）A．至少一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都没有中靶3．从，，，这个数中，任取个数求和，那么“这个数的和大于”为事件，“这个数的和为偶数”为事件，则和包含的样本点数分别为（）A．;B．;C．;D．;4．规定投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环及以上为优秀，现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投镖在8环以下；用1表示该次投镖在8环及以上；再以每三个随机数作为一组，代表3次投掷的结果，经随机模拟实验产生了如下20组随机数：101100011101010100100011111110000011010001111011100000101101据此估计，该选手投掷飞镖一轮成绩为优秀的概率为（）A．B．C．D．5．有3个兴趣小组，甲、乙两人各自只参加其中一个，每位同学参加各小组的可能性相同，则这两位同学不在同一兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．6．在5件工艺品中，其中合格品2件，不合格品3件，从中任取2件，若事件A的概率为，则事件A可以是（）A．至多有1件合格品B．恰有1件合格品\nC．至少1件合格品D．都不是合格品7．某地为方便群众接种新冠疫苗，开设了，，，四个接种点，每位接种者可去任一个接种点接种．若甲，乙两人去接种新冠疫苗，则两人不在同一接种点接种疫苗的概率为（）A．B．C．D．8．已知数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（）A．B．C．D．二、多选题．9．“新冠肺炎”席卷全球，我国医务工作者为了打好这次疫情阻击战，充分发挥优势，很快抑制了病毒，据统计老年患者治愈率为，中年患者治愈率为，青年患者治愈率为．某医院共有名老年患者，名中年患者，名青年患者，则（）A．若从该医院所有患者中抽取容量为的样本，老年患者应抽取人B．该医院中年患者所占的频率为C．估计该医院的平均治愈率大约是D．估计该医院的平均治愈率大约是10．以下结论中正确的有（）A．投掷一枚骰子，事件“出现的点数至少是5点”和“出现的点数至多是2点”是互斥事件B．投掷一枚硬币，事件“结果为正面向上”和“结果为反面向上”是对立事件C．5个阉中有一个是中签的阉，甲、乙两人同时各抽一个，事件“甲中签”和“乙中签”是对立事件D．从两男两女四个医生中随机选出两人组建救援队，抽选结果的基本事件是“一男一女”、“两个男医生”、“两个女医生”，共三种11．已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是（）\nA．颜色相同B．颜色不全相同C．颜色全不相同D．无红球12．某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（）A．甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是C．丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是三、填空题．13．把一个骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为，，则使得关于的方程有2个互不相等的实数根的概率为________．14．我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠．”现从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成，则恰好能使得的概率是_________．15．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为________．①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤．四、解答题．16．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”\n的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，现从参与调查的人群中随机选出20人的样本，并将这20人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示：（1）求样本中第3组人数；（2）根据频率分布直方图，估计参与调查人群的样本数据的平均数和第80百分位数；（3）若从年龄在的人中随机抽取两位，求至少有一人的年龄在内的概率．17．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会于2022年2月4\n日开幕，北京也就此成为全球唯一一座既举办过夏季奥运会又举办冬季奥运会的城市．为做好本次奥运会的服务工作，需从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的100名学生进行综合素质考核，根据学生考核成绩分为A，B，C，D四个等级，最终的考核情况如下表：等级ABCD人数10304020（1）将频率视为概率，从报名的100名学生中随机抽取1名，求其成绩等级为A的概率；（2）从报名的100名学生中，根据考核情况利用分层抽样法抽取10名学生，再从这10名学生中选取2人进行座谈会，求这2人成绩等级相同的概率．18．某化肥厂有甲､乙两个车间生产同一种产品，从两个车间生产的产品中各随机抽取7包称重，记录数据如下（单位：）：甲：乙：（1）计算甲､乙两个车间抽取的产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品质量比较稳定；（2）从两组数据中各随机抽取一个不小于100的数据，甲组中抽取的数据记为x，乙组中抽取的数据记为y，求的概率．\n\n答案与解析一、单选题．1．【答案】A【解析】抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，即①是随机事件；因三角形三条高线一定交于一点，则②是必然事件；因实数a，b都不为0，则，于是得③是不可能事件；某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件，所以在给定的4个事件中，①④是随机事件，故选A．2．【答案】B【解析】由已知条件得，∵事件“至多一次中靶”包含事件两次都未中靶和两次只有一次中靶，∴事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”，故选B．3．【答案】C【解析】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，其中事件A包含的样本点有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个，事件B包含的样本点有：(1，3)，(2，4)，共2个，所以事件包含的样本点有：(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5个，事件AB包含的样本点有：(2，4)，共1个，故选C．4．【答案】B【解析】总的事件有20个，其中3次至少两次投中的事件有：101，011，101，011，111，110，011，111，011，101，101共11个，\n故投掷飞镖一轮成绩为优秀的概率为，故选B．5．【答案】B【解析】设小组的编号为，甲、乙两人各自只参加其中一个，可能为，共9种，其中两位同学不在同一兴趣小组的为，共6种，所以两位同学不在同一兴趣小组的概率为，故选B．6．【答案】C【解析】设两件合格品为，三件不合格品为，从中任取两件，有，，，，，，，，，，共有10种取法，其中至多有1件合格品的有，，，，，，，，，共有9种，所以至多有1件合格品的概率为，故A不正确；其中恰有1件合格品的有，，，，，，共有6种，所以恰有1件合格品的概率为，故B不正确；其中至少1件合格品的有，，，，，，，共有种，所以至少1件合格品的概率为，故C正确；其中都不是合格品的有，，，共有3种，所以都不是合格品的概率为，故D不正确，故选C．7．【答案】C【解析】甲，乙两人去，，，四个接种点接种新冠疫苗的所有选择共有16种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，；\n其中两人不在同一个接种点接种的情况有12种，从而有，故选C．8．【答案】B【解析】由数据1，2，3，4，x（）的平均数，可得，所以，从这5个数中任取2个，结果有：，，，，，，，，，共10种，这2个数字之积大于5的结果有：，共5种，所以所求概率为，本题选择B选项．二、多选题．9．【答案】ABC【解析】对于A选项，若从该医院所有患者中抽取容量为的样本，老年患者应抽取的人数为，A对；对于B选项，该医院中年患者所占的频率为，B对；对于CD选项，估计该医院的平均治愈率大约是，C对，D错，故选ABC．10．【答案】AB【解析】A中事件“至少出现5点”和“至多出现2点”不可能同时发生，所以是互斥事件，所以该选项正确；B中事件“结果正面向上”的发生与“结果反面向上”的发生不可能同时出现，所以是互斥事件，但所有结果只有两种，所以事件“结果正面向上”和“结果反面向上”是对\n立事件，所以该选项正确；C中事件“甲中签”和“乙中签”是不可能同时发生，但也可能是“甲，乙两人都不中签”发生，所以事件“甲中签”和“乙中签”是互斥事件但不是对立事件，所以该选项错误；D中设两男为，，两女为，，则“”，“”，“”，“”，“”，“”为等可能事件，可以组成一个基本事件空间，显然“一男一女”包含“”，“”，“”，“”四种情况，“两个男医生”只包括“”一种情况，“两个女医生”也只包括“”一种情况，概率不相等，所以不能构成基本事件，所以该选项错误，故选AB．11．【答案】ACD【解析】根据题意，有放回的取3次，共有种情况，即（黄，黄，黄），（黄，白，黄），（黄，黄，白），（黄，红，黄），……，由古典概型计算：A选项，颜色相同的情况有3种，故概率为，不为；B选项，颜色不全相同与颜色相同是对立事件，故其概率为；C选项，颜色全不相同，即黄，红，白各有一次，共有6种情况，故概率为，不为；D选项，无红球，即三次都是黄或白球，共有8种情况，故其概率为，不为，故选ACD．12．【答案】ABC【解析】甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，随机事件“若能得2分”中有基本事件，故“能得2分”的概率为，故A正确；乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为：，\n随机事件“能得5分”中有基本事件，故“能得5分”的概率为，故B正确；丙同学随机选择选项（丙至少选择一项），由A、B中的分析可知共有基本事件种，分别为：选择一项：；选择两项：；选择三项或全选：，，随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，故C正确；丁同学随机至少选择两个选项，由C的分析可知：共有基本事件11个，随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，故D错，故选ABC．三、填空题．13．【答案】【解析】若方程有2个互不相等的实数根，则，一个骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为，，记为，所有可能共36种，其中满足题意的有，，，，，，，，，，，，，，，，，共17种，故使得关于的方程有2个互不相等的实数根的概率为，故答案为．14．【答案】【解析】随机选取2个不同的数字组成的数对有：，，3，4，5，6，\n，，2，4，5，6，，，2，3，5，6，，，2，3，4，6，，，2，3，4，5，共有25种，其中1，2，3，4，5，6这6个数字中满足的数对有：，，4，5；，；，；，；，共15种，所求概率为，故答案为．15．【答案】①④【解析】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”，①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确；②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误；③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；④，，，，从而，故④正确；⑤，，从而，故⑤错误，\n故答案为①④．四、解答题．16．【答案】（1）7；（2）；51；（3）．【解析】（1）由频率分布图进行数据分析可得：，解得．所以样本中第3组人数为．（2）由频率分布图进行数据分析可得：样本数据的平均数为；前3组的频率和为：．前4组的频率和为：．故第80百分位数位于第4组，设为a，则，解得，所以样本数据的平均数为，第80百分位数约为51．（3）记事件A：至少有一人的年龄在内，年龄在的有2人，设为a、b；年龄在的有3人，设为1、2、3；从5人中任选2人，有：ab、a1、a2、a3、b1、b2、b3、12、13、23共10种情况，至少有一人的年龄在内包括：ab、a1、a2、a3、b1、b2、b3共7种情况，故所求概率为．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题知，任意抽取1人，抽到的学生成绩等级为A的概率为．（2）由题知，抽取的10名学生中成绩为A，B，C，D等级的人数分别为1，3，4，2，记这10人分别为A，，，，，，，，，，\n从中抽取2人的样本空间为{，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，}，共45个样本点，其中成绩同等级的样本点有，，，，，，，，，，共10个，所以这2人成绩等级相同的概率为．18．【答案】（1）甲的平均数，甲的方差为，乙的平均数，乙的方差为，甲车间产品质量比较稳定；（2）．【解析】（1）解：甲的平均数，甲的方差为．乙的平均数，乙的方差为．因为，，所以甲车间产品质量比较稳定．（2）甲组中不小于100的数据有102，104，100，分别记为，，；\n乙组中不小于100的数据有101，102，101，103，分别记为，，，．从两组数据中各随机抽取一个不小于100的数据，该试验的样本空间为，共12个样本点，设事件A表示“”，则，共5个样本点，所以．
