4立体几何（一）一、单选题．1．下列说法中正确的个数为（）①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．A．B．C．D．2．一个正四棱锥的侧棱长为10，底面边长为，该四棱锥截去一个小四棱锥后得到一个正四棱台，正四棱台的侧棱长为5，则正四棱台的高为（）A．5B．4C．3D．23．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为（）A．B．C．D．84．己知某圆锥的母线长为3，底面圆的半径为2，则圆锥的表面积为（）A．B．C．D．5．如图，圆锥PO的底面直径和高均为4，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是（）\nA．B．C．D．6．已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．7．古希腊数学家阿基米德最为满意的一个数学发现是“圆柱容球”，即在球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的．已知体积为的圆柱的轴截面为正方形．则该圆柱内切球的表面积为（）A．B．C．D．二、多选题．8．下列说法正确的是（）A．由若干个平面多边形围成的几何体，称作多面体B．一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面C．旋转体的截面图形都是圆D．圆锥的侧面展开图是一个扇形9．利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是（）A．三角形的直观图是三角形B．正方形的直观图是正方形C．菱形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图是平行四边形10．已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面\n的距离等于球半径的，则下列结论正确的是（）A．球的表面积为B．球的内接正方体的棱长为1C．球的外切正方体的棱长为D．球的内接正四面体的棱长为2三、填空题．11．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________．(填序号)①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形．12．已知正三棱锥，底面是边长为3的正三角形ABC，，点E是线段AB的中点，过点E作三棱锥外接球O的截面，则截面面积的最小值是________．四、解答题．13．（1）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱CC1⊥底面，CC1＝3，有虫从A沿三个侧面爬到A1，求小虫爬行的最短距离．（2）以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的夹角都是30°，在一条棱上取A，B两点，，，以A，B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A，B两点间的最短绳长．\n14．如图所示，正四棱台两底面边长分别为4和8．（1）若其侧棱所在直线与上、下底面中心的连线夹角为，求该四棱台的表面积；（2）若其侧面积等于两底面面积之和，求该四棱台的体积．参考公式：上下底面面积分别为，高为，．\n15．如图，在中，，，，以C为圆心的圆弧与相切于点D，将阴影部分绕所在直线旋转一周得到一个旋转体，求这个旋转体的表面积和体积．\n答案与解析一、单选题．1．【答案】D【解析】对于①，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，①错误；对于②，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，②错误；对于③，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，③错误；对于④，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面射影为底面中心，满足正棱锥定义，④正确，故选D．2．【答案】B【解析】根据题意，正四棱台是由原正四棱锥过侧棱的中点且与底面平面的平面截得的，如下图所示：对原正四棱锥，，故其高，又△△，其相似比为，故正四棱台的高，故选．3．【答案】B【解析】由题可知，，∴，\n还原直观图可得原平面图形，如图，则，，，∴，∴原平面图形的周长为，故选B．4．【答案】A【解析】圆锥的母线长为3，底面圆的半径为2，底面周长是，侧面积是，底面积是，圆锥的表面积为，故选A．5．【答案】B【解析】由题意知，因为为的中点，所以挖去圆柱的半径为1，高为2，剩下几何体的体积为圆锥的体积减去挖去小圆柱的体积，所以，故选B．6．【答案】C【解析】结合题目边长关系，三棱锥如图所示，，由题意是等腰直角三角形，则，，，，则表面积为\n，故选C．7．【答案】A【解析】设圆柱底面圆半径为，则圆柱高为，圆柱体积，解得，又圆柱内切球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，所以内切球的表面积是圆柱表面积的，圆柱表面积为，所以内切球的表面积为，故选A．二、多选题．8．【答案】ABD【解析】根据多面体的定义知，选项A正确；根据旋转面的定义知，选项B正确；截圆柱、圆锥、圆台所得轴截面图形分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，选项C错误；圆锥沿其母线剪开后，侧面在平面上的展开图是一个扇形，此说法正确，选项D正确，故选ABD．9．【答案】AD【解析】根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半．\n对于A中，三角形的直观图中，三角形的高于底边的夹角为或，长度减少为原来的一半，依然是三角形，所以A正确；对于B中，正方形的直角，在直观图中变为或，不是正方形，所以B错误；对于C中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为，所以菱形的直观图不是菱形，所以C错误；对于D中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D正确，故选AD．10．【答案】AD【解析】设球的半径为，由已知可得外接圆半径为，球心到平面的距离等于球半径的，，得．对于A，球的表面积为，故A正确；对于B，设球的内接正方体的棱长为，正方体的体对角线即球的直径，，解得，故B错误；对于C，设球的外切正方体的棱长为，正方体的棱长即球的直径长，，故C错误；对于D，设球的内接正四面体的棱长为，则正四面体的高为，由，解得，故D正确，故选AD．\n三、填空题．11．【答案】①②【解析】按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形，截面形状不可能为五边形，故答案为①②．12．【答案】【解析】如图所示，取BC中点D，连接AD，由于三棱锥为正三棱锥，故过点S作SF⊥底面ABC，则F在AD上，且，点O在SF上，连接OA，OE，设三棱锥外接球O半径为R，则，由于底面是边长为3的正三角形，所以，，因为，所以，设，则，，故，解得，所以，由勾股定理得，过点E作三棱锥外接球O的截面圆，当截面圆与OE垂直时，截面面积最小，设截面圆半径为r，则，故截面面积的最小值为，\n故答案为．四、解答题．13．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）三棱柱的侧面展开图为一个矩形AA′A1′A1，如图所示，长A1A1′＝2×3＝6，宽AA1＝3，所以，即小虫爬行的最短距离是．（2）作出三棱锥的侧面展开图，如图，A，B两点间最短绳长就是线段AB的长度．在中，，，，所以，所以此绳在A，B两点间的最短绳长为．\n14．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设分别为正四棱台上、下底面的中心，连接，过作于E，过E作于F，连接，如图，则，为正四棱台的斜高，依题意，在中，，，在等腰中，，在中，斜高，于是得正四棱台的侧面积，而正四棱台的上下底面面积分别为，，所以正四棱台的表面积．（2）由（1）知，，解得，又，因此，，即四棱台的高，所以正四棱台的体积．15．【答案】表面积为，体积为．【解析】如图，连接，\n因为D是切点，是半径，所以，由已知可得．阴影部分绕所在直线旋转一周得到的旋转体，可以看作是一个圆锥挖去一个半球所得的几何体，圆锥的底面半径为2，高为，挖去的半球的半径为．该几何体的表面包含一个圆锥侧面，一个半球面和一个圆环，所以其表面积，体积．
