4计数原理（一）一、单选题．1．若，则的个位数字是（）A．3B．8C．0D．52．从甲地到乙地可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．假定火车有2班，汽车有3班，轮船每日有3班，那么一天中从甲地到乙地有（）种不同的走法．A．8B．9C．15D．183．6位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（）A．15种B．30种C．36种D．64种4．北京大学一个班级的6名同学准备去参加冬奥会志愿服务活动，其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，其他人根据个人情况可选择去也可选择不去，则这6名同学不同的去法种数有（）A．16B．32C．48D．645．2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京盛大开幕，中国冬奥健儿在赛场上摘金夺银，在国内掀起一波冬奥热的同时，带动了奥运会周边产品的热销，其中奥运吉祥物冰墩墩盲盒倍受欢迎．已知冰墩墩盲盒共有7个，6个基础款，1个隐藏款，随机购买两个，买到隐藏款的概率为（）A．B．C．D．6．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“团员知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一．据此推测5人的名次排列情况共有（）种．A．18B．24C．14D．167．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字且大于201345的六位数的个数为（）A．478B．479C．480D．481二、多选题．\n8．从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数应为（）A．B．C．D．9．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理､化学､生物､政治､历史､地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣､首先在物理､历史2门科目中选择1门，再从政治､地理､化学､生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（）A．若任意选科，选法总数为B．若化学必选，选法总数为C．若政治和地理至少选一门，选法总数为D．若物理必选，化学､生物至少选一门，选法总数为10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有48种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．甲乙不相邻的排法种数为72种D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种三、填空题．11．计算：_________．12．把、、等5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法共有_________种．13．如图，一个地区分为5个区域，现给5个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有________种．\n四、解答题．14．（1）解不等式：；（2）解方程：．15．现有3名男生、4名女生．（1）若排成前后两排，前排4人，后排3人，则共有多少种不同的排法？（2）若全体排成一排，甲不排在最左端也不排在最右端，则共有多少种不同的排法？（3）若全体排成一排，甲、乙排在两端，则共有多少种不同的排法？\n16．名同学简记为、、、、、到甲、乙、丙三个场馆做志愿者．（1）一天上午有个相同的口罩全部发给这名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？（2）每名同学只去一个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法种数？（3）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？\n答案与解析一、单选题．1．【答案】A【解析】当时，，此时的个位数字为0，∴的个位数字为0，又∵，∴的个位数字为3，故选A．2．【答案】A【解析】从甲地到乙地有种不同的走法，故选A．3．【答案】D【解析】因为每位同学都有两种选择，所以共有种不同的报名方法，故选D．4．【答案】B【解析】第一类，甲和乙都去，去法种数为；第二类，甲和乙都不去，去法种数为，由分类计数原理知：这6名同学不同的去法种数有，故选B．5．【答案】B【解析】已知冰墩墩盲盒共有7个，6个基础款，1个隐藏款，随机购买两个共有种，其中买到隐藏款有种，所以随机购买两个，买到隐藏款的概率为，故选B．6．【答案】A【解析】由题意可知，甲排第三，乙不是第一的方法有，故选A．\n7．【答案】B【解析】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数的个数为．以1为十万位的没有重复数字的六位数的个数为，由于201345是以2为十万位的没有重复数字的六位数中最小的一个，所以没有重复数字且大于201345的六位数的个数为，故选B．二、多选题．8．【答案】BC【解析】（1）分三类：3男1女，2男2女，1男3女，∴男、女生至少各有1人参加的选法种数为．（2）任选4人的方法种数为，其中全部为男生或全部为女生的方法种数为，所以男、女生至少各有1人参加的选法种数为，故选BC．9．【答案】BD【解析】若任意选科，选法总数为，A错误；若化学必选，选法总数为，B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为，C错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为，D正确，故选BD．10．【答案】BCD【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有种排法，A错误；对于B，分2种情况讨论：若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有\n种排法；若乙站在最左端，则甲有3种站法，剩下3人全排列，有种排法，则有种不同的排法，故B正确；对于C，先将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有种排法，C正确；对于D，甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有种排法，甲乙丙全排列有种排法，则甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确，故选BCD．三、填空题．11．【答案】【解析】，故答案为．12．【答案】36【解析】将产品与产品看成一个整体，考虑，之间的顺序，有种情况，将这个整体和除产品外剩余的2件产品全排列，有种情况，产品与产品不相邻，有3个空位可选，即有3种情况，故不同的摆法共有种，故答案为．13．【答案】72【解析】选用3种颜色时，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色方法有种；\n4种颜色全选时，②④同色或③⑤同色，涂色方法有种，所以共有种不同的涂色方法，故答案为72．四、解答题．14．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意得，化简得，即，所以，因为，且，所以不等式的解集为．（2）易知，所以，，由，得，化简得，解得，（舍去），（舍去），所以原方程的解为．15．【答案】（1）5040；（2）3600；（3）240．【解析】（1）解法一：分两步完成，第一步，选4人站前排，有种排法，第二步，余下3人站后排，有种排法，共有种不同的排法．解法二：将7个人排成前后两排，前排4人，后排3人，相当于7个人的全排列，故共有种不同的排法．（2）解法一（元素分析法）：先排甲，有5种排法，再排其余6人，有种排法，共有种不同的排法．解法二（位置分析法）：因为甲不站两端，所以先从甲以外的6个人中任选2个人站在两端，有种排法；再将其余5个人排在中间5个位置，有种排法，\n由分步乘法计数原理，可知共有种不同的排法．（3）首先考虑两端位置，由甲、乙去排，有种排法；再让其他人站中间5个位置，有种排法，根据分步乘法计数原理，可知共有种不同的排法．16．【答案】（1）126种；（2）60种；（3）114种．【解析】（1）个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的个口罩排成一排有个间隙，插入块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，所以不同的发放方法种．（2）求不同的安排方法分三步：人中选一人去甲场馆，剩下的人中选人去乙场馆，最后剩下人去丙场馆，所以不同的安排方法有种．（3）把视为一人，相当于把个人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有两类：第一类，，，去掉在一组的情况，有()种分组方法，再分配给三个场馆，有种方法，第二类，，，去掉在一组的情况，有()种分组方法，再分配给三个场馆，有种方法，所以不同的安排方法有种方法．
