5立体几何（二）一、单选题．1．下列命题正确的是（）A．没有公共点的两条直线是平行直线B．互相垂直的两条直线是相交直线C．既不平行又不相交的两条直线是异面直线D．不在同一平面内的两条直线是异面直线2．如图，正方体中，直线和所成角的大小为（）A．B．C．D．3．已知直线和平面，下列说法正确的是（）A．若//，//，则//B．若//，，则//C．若//，，，则//D．若//，//，则//4．下列命题中正确的个数为（）①存在与两条异面直线都平行的平面；②过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行；③若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；④若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；⑤空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．A．1B．2C．3D．45．如图，在正四棱柱中，，点为棱的中点，\n过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面面积为（）A．2B．C．D．6．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E，F，G分别为棱的中点，则下列各选项正确的是（）A．直线与平面平行，直线与平面相交B．直线与平面相交，直线与平面平行C．直线、都与平面平行D．直线、都与平面相交7．在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（）\nA．三角形边界的一部分B．一个点C．线段的一部分D．圆的一部分8．如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（）A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面9．已知圆锥的顶点为点S，底面圆心为点O，高是底面半径r的倍，点A，B是底面圆周上的两点，若△SAB是等边三角形，则O到平面SAB的距离为（）A．B．C．D．二、多选题．10．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（）\nA．直线与为异面直线B．平面C．D．三棱锥的体积为11．香囊，又名香袋、花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示，则下列说法正确的是（）A．AB⊥DEB．直线CD与直线EF所成的角为45°C．该六面体的体积为D．该六面体内切球的表面积是12．已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，是棱上的一点，则（）A．直线始终与直线垂直B．存在点，使得直线与平面平行C．当是棱的中点时，直线与所成角的余弦值为D．当是棱的中点时，点与点到平面的距离相等\n三、填空题．13．如图，在四面体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列说法中正确的序号是________．①，，，四点共面；②；③；④四边形为梯形．14．正方体中，分别是的中点，如图，则与平面的位置关系是________．15．如图，在直三棱柱中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．四、解答题．\n16．如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点．求证：（1），O，M三点共线；（2）E，C，，F四点共面．17．如图所示，图（1）中的中，，，是的中点，现将沿折起，使点到达点的位置，且满足，得到如图（2）所示的三棱锥，点、分别是棱、的中点，、分别在棱、上，满足，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．\n18．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面．（1）证明：平面；（2）求A到平面的距离．\n答案与解析一、单选题．1．【答案】C【解析】对A：没有公共点的两条直线可以平行，也可以是异面直线，故A错误；对B：互相垂直的两条直线可以相交直线，也可以是异面直线，故B错误；对C：既不平行又不相交的两条直线是异面直线，故C正确；对D：不在同一任意一个平面内的两条直线是异面直线，故D错误，故选C．2．【答案】C【解析】解：连接，，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，，是异面直线与所成角（或所成角的补角），，，异面直线与所成角的大小是，故选C．3．【答案】C【解析】对A：若//，//，则//或，故A错误；对B：若//，，则//或，故B错误；对C：若//，，，则//，故C正确；对D：若//，//，则可以平行，可以相交，也可以是异面直线，\n故D错误，故选C．4．【答案】C【解析】对于①，可取不在两条异面直线上的点P，过P分别作与两条异面直线平行的两条相交直线，可得一个平面与两条异面直线都平行，故①正确；对于②，若空间一点在两条异面直线中的一条上，则不能作一个平面与两条异面直线都平行，故②错误；对于③，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面上，所以这三点必在平面ABC与的交线上，即P，Q，R三点共线，所以③正确；对于④，因为，所以a与b确定一个平面，而上有A、B两点在该平面上，所以，即a、b、l三线共面于α；同理a、c、l三线也共面，不妨设此平面为β．而α和β有两条公共的直线a、l，所以α与β重合，故这些直线共面，所以④正确；对于⑤，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以⑤错误，故正确的个数为3个，故选C．5．【答案】D【解析】取的中点，的中点，连接，因为该几何体为正四棱柱，∴，故四边形为平行四边形，所以，\n又，∴，同理，且，所以过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面为菱形，所以该菱形的面积为，故选D．6．【答案】A【解析】取的中点H，则从而四边形为平行四边形，所以．易知，则四边形为平行四边形，从而平面．又平面，所以平面．易知，则四边形为平行四边形，从而与相交，所以直线与平面相交，故选A．7．【答案】C【解析】如图，过作交于，连接，，平面，平面，所以平面，同理平面，\n又，平面，所以平面平面，所以，（不与重合，否则没有平面），故选C．8．【答案】A【解析】原图中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，FH∩EH＝H，又FH平面EFH，EH平面EFH，所以AH⊥△EFH所在平面．故A正确，B错误；由上知，，故D错误；由原图知与不垂直，故C错误，故选A．9．【答案】B【解析】由题意高，则，，即，解得，故选B．\n二、多选题．10．【答案】ABC【解析】对于A，直线平面，平面，直线，则易得直线与为异面直线，故A正确；对于B，因为平面平面，所以平面，故B正确；对于C，连接，因为正方体中，，所以平面，所以，故C正确；对于D，三棱锥的体积，故D错误，故选ABC．11．【答案】AD【解析】由题知，所给六面体由两个同底面的正四面体组成，将题图2的平面展开图还原为直观图后如下图所示，其中四点重合．\n对于A：取的中点，连接，则．又，平面，又平面，，故正确；对于B：由图可知，与分别为正三角形的边，其所成的角为，故错误；对于C：连接，过点作平面，则垂足在上，且，，，该六面体的体积，故C错误；对于D：该六面体的各棱长相等，其内切球的球心必在公共面上，又为正三角形，点即为该六面体内切球的球心，且该球与相切，过点作，则就是内切球的半径．在中，，，\n该内切球的表面积为，故D正确，故选AD．12．【答案】BC【解析】对于A，当点与点重合时，即，易知，且与不垂直，故A不正确；对于B，连接，因为，分别为，的中点，，而正方体中易知，所以，连接，则，，，四点共面，当是棱的中点时，由与平行且相等，与平行且相等，得与平行且相等，从而是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，即平面，故B正确；对于C，当是棱的中点时，取的中点，连接，，由都与平行得，所以或其补角为异面直线与所成的角，（注意异面直线所成角的范围）易得，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，故C正确；对于D，当是棱的中点时，连接，假设点与点到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，设交于点，易知不是的中点，则假设不成立，故D错误，\n故选BC．三、填空题．13．【答案】①②③【解析】由中位线定理，易知，，，．对于①，由公理4易得，所以，，，四点共面，故①正确；对于②，根据等角定理，得，故②正确；对于③，由等角定理，知，，所以，故③正确；由三角形的中位线定理及公理4知，所以且，所以四边形为平行四边形，故④不正确，故答案为①②③．14．【答案】平行【解析】如图，取的中点，连接．∵为的中点，∴为的中位线，则，且．∵为的中点，∴且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，\n而平面，平面，∴平面．15．【答案】（或）【解析】设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF．由已知可得，设斜边AB1上的高为h，则DE＝h．又，所以，．在中，．在中，由面积相等得，解得，即线段B1F的长为，故答案为．四、解答题．16．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意得平面，又，平面，所以平面，\n由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上，所以三点共线．（2）连接EF、、，因为E、F分别为AB、的中点，所以，又正方体，所以，所以，因为两平行直线可确定一个平面，所以E，C，，F四点共面．17．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：在中，，，，，是的中点，，，在三棱锥中，取的中点，连接，分别是棱的中点，\n，，连接，满足，，，，，，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面．（2）翻折前，翻折后，，，，平面，平面，，，是中点，，，平面，与平面的所成角为，，与平面的所成角等于与平面的所成角，，，．18．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）在四棱锥中，底面，平面，则，在中，，，而，即有，则有，\n因为，平面，所以平面．（2）由（1）可得，，因，则，，，令到平面的距离为h，由，即，得，解得，因为，平面，平面，于是得平面，所以到平面的距离等于到平面的距离．
