2020-2021学年山东省枣庄市滕州市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知复数，则＝（）tA.tB.㌳C.D.2.设集合ሼݔݔ合集，bሼ㌳lnݔሼb，则A.香䁞B.香䁞C.㌳䁞D.㌳䁞3.“lnln”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.数列b是等差数列，且，㌳，那么（）tA.B.㌳C.D.㌳5.若cossin㌳，，，则sin的值为（）A.㌳B.㌳C.㌳D.6.设香，香，且t，则ttA.有最小值为B.有最小值为tC.有最小值为D.无最小值7.已知是䁨的外心，，，䁨香，若ሼtݔ䁨，且ሼt香ݔሼ香，则䁨的面积为（）香A.B.C.D.香8.设函数ሼ在上存在导函数ሼ，对任意的实数ሼ都有ሼ㌳ሼtሼ，当ሼ香时，ሼሼt．若t㌳tt，则实数的取值范围是（）A.㌳，tB.㌳，tC.㌳䁞tD.㌳䁞t试卷第1页，总9页,二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9.已知函数ሼ＝ሼt㌳ሼtሼ．则下面结论正确的是（）A.ሼ是奇函数B.ሼ在香䁞t上为增函数C.若ሼ香，则ሼttD.若ሼ㌳㌳，则香ሼሼ10.已知函数ሼ＝sinሼtt香䁞香䁞香部分自变量、函数值如表所示，下列结论正确的是（）ሼሼt香ሼA.函数解析式为ሼsinሼt，B.函数ሼ图象的一条对称轴为ሼ㌳C.㌳䁞是函数ሼ图象的一个对称中心D.函数ሼ的图象向左平移个单位，再向下平移个单位所得的函数为奇函数11.如图，矩形䁨〮中，为䁨的中点，将沿直线翻折成，连结〮，为〮的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是()A.存在某个位置，使得䁨B.翻折过程中，䁨的长是定值C.若，则〮D.若，当三棱锥㌳〮的体积最大时，三棱锥㌳〮的外接球的表面积是12.下列不等式中正确的是（）试卷第2页，总9页,A.lnlnB.lnC.D.ln二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．)13.已知向量䁞䁞㌳，㌳䁞，若与共线，则实数䁞的值为________．14.已知等比数列{________．15.已知二面角㌳㌳䁨的大小为香，且＝䁨＝香，＝，t䁨＝，．若点、、、䁨都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为________．16.已知对任意ሼ，都有ሼሼ㌳ሼ㌳ሼtlnሼ，则实数的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.在条件①tsin㌳sin＝ܿ㌳sin䁨，②sin＝cost，，t䁨③sinsin中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．在䁨中，角，，䁨的对边分别为，，ܿ，tܿ＝，，，，求䁨的面积．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.已知ሼ＝ሼt㌳ሼ㌳．Ⅰ若ሼ香的解集为，求关于ሼ的不等式香的解集；Ⅱ解关于ሼ的不等式ሼ香．19.记等差数列b的前项和为，已知香，．Ⅰ求数列b的通项公式；Ⅱ若数列b的通项公式，将数列b中与b的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列ܿb，设数列ܿb的前项和为，求香香．20.如图，三棱柱䁨㌳䁨中，侧棱平面䁨，䁨为等腰直角三角形，䁨＝香，且＝＝，，分别是䁨䁨，䁨的中点．Ⅰ若〮是的中点，求证：〮平面；Ⅱ线段（包括端点）上是否存在点，使直线与平面所成的角为，香？若有，确定点的位置；若没有，说明理由．21.已知偶函数ሼlogሼtt䁞ሼ䁞，试卷第3页，总9页,（1）求䁞的值；ሼ（2）设ሼlog㌳，若函数ሼ与ሼ的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．22.已知函数ሼ＝tሼ㌳sinሼ，ሼ香．（1）求ሼ的最小值；（2）证明：ሼ㌳ሼ．试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省枣庄市滕州市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.C2.B3.A4.B5.C6.B7.D8.A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.B,C,D10.B,C,D11.B,D12.A,C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.14.b满足＝，，＝㌳，则＝15.16.㌳䁞四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.若选①：由正弦定理得t㌳＝ܿ㌳ܿ，即tܿ㌳＝ܿ，tܿ㌳ܿ所以cos，ܿܿ因为香䁞，所以，又＝tܿ㌳ܿ＝tܿ㌳ܿ，＝，，tܿ＝，，所以ܿ＝，试卷第5页，总9页,所以䁨ܿsinsin．若选②：由正弦定理得：sinsin＝sincost．，因为香，所以sin香，sin＝cost，，化简得sincos㌳sin，即tan，因为香，所以．，又因为＝tܿ㌳ܿcos，，tܿ㌳，㌳，所以ܿ，即ܿ＝㌳，tt所以䁨ܿsin㌳，㌳．若选③：t䁨由正弦定理得sinsinsinsin，因为香，所以sin香，t䁨所以sinsin，又因为t䁨＝㌳，所以cossincos，因为香，香，所以cos香，∴sin，，，所以．又＝tܿ㌳ܿ＝tܿ㌳ܿ，＝，，tܿ＝，，所以ܿ＝，所以䁨ܿsinsin．18.（1）由题意得：ሼ＝㌳，ሼ＝-t㌳ሼ㌳＝香的根，代入方程，解得＝㌳，故原不等式等价于，解得：ሼ或，试卷第6页，总9页,所以不等式的解集为；（2）当＝香时，原不等式可化为ሼt，㌳，当香时，原不等式可化为，解集为，当香时，原不等式可化为，当，即㌳时；当，即＝㌳时；当，即㌳香时．t19.（1）依题意，＝＝＝香，解得：，又，故，，所以t㌳t．（2）令数列b的前项和为，数列b的前项和为，由Ⅰ可知，，，，…，香香，香，所以香香香香㌳香，t香香香香香＝＝香，，㌳香香＝＝香，，㌳故香香香，．20.（1）证明：连接〮䁨，䁨，因为〮，分别是，䁨䁨的中点，故〮䁨，平面〮䁨，〮䁨平面〮䁨，所以平面〮䁨．因为，分别是䁨䁨，䁨的中点，所以䁨，平面〮䁨，䁨平面〮䁨，所以平面〮䁨，又＝，平面，所以平面平面〮䁨，又〮平面〮䁨，所以〮平面，（2）由题意得，䁨两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系㌳ሼݔ，则香䁞香䁞，䁞䁞，，，，香．因为，．试卷第7页，总9页,设平面的法向量为，得，令＝，得ሼ＝，所以平面的一个法向量为．设，又，所以，若直线与平面所成角为，香，，则＝＝．解得：＝香或，即当点与点重合，或时，直线与平面所成的角为，香．21.解：（1）由ሼ㌳ሼ得到：㌳log㌳t㌳䁞logtt䁞，∴䁞㌳．（2）函数ሼ与ሼ的图象有且只有一个公共点ሼሼ即方程logt㌳ሼlog㌳有且只有一个实根ሼሼ化简得：方程t㌳有且只有一个实根ሼሼ令香，则方程㌳㌳㌳香有一个正根试卷第8页，总9页,①㌳，不合题意；②香或㌳若㌳，不合题意；若㌳㌳③若一个正根和一个负根，则香，即时，满足题意．㌳所以实数的取值范围为或㌳b22.ሼ＝㌳cosሼ，令ሼ＝香，得cosሼ，故在区间香䁞上，ሼ的唯一零点是ሼ，当ሼ香䁞时，ሼ香，ሼ单调递减；当ሼ䁞时，ሼ香，ሼ单调递增，故在区间香䁞上，ሼ的极小值为t㌳，当ሼ时，ሼt㌳㌳，∴ሼ的最小值为t㌳；要证ሼ香时，ሼ㌳ሼ，即证ሼ香时，ሼ＝tሼ㌳sinሼሼ，ሼ＝tሼ㌳sinሼሼt㌳cosሼሼ＝tሼ㌳sinሼ㌳cosሼሼ，令ሼ＝ሼ㌳sinሼ，ሼ香，则ሼ＝㌳cosሼ香，即ሼ是香䁞t上的增函数，∴ሼ香＝香，即ሼsinሼ，∴tሼ㌳sinሼ㌳cosሼtsinሼ㌳sinሼ㌳cosሼ＝㌳sinሼtcosሼ㌳sinሼt香，∴ሼ＝tሼ㌳sinሼ㌳cosሼሼ香，即ሼ是香䁞t上的增函数，ሼ香＝，故当ሼ香时，ሼ㌳ሼ，即得证．试卷第9页，总9页
