2020-2021学年山东省济南市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)앐1.已知全集为R，集合縘ߍ앐ɲ겘，縘ߍ앐ɲ앐앐ݔ，则겘R縘겘)A.ߍ앐ɲ앐B.ߍ앐ɲ앐C.ߍ앐ɲ앐댳或앐D.ߍ앐ɲ댳앐或앐数2.已知是实数，是纯虚数，则縘겘ݔ数A.B.C.D.3.“縘”是“对任意的正数앐，앐ݔ”的()앐A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.将名志愿者分配到个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为()A.B.C.D.5.设縘겘′縘겘㈵縘겘，则，′，㈵的大小顺序是（）A.㈵댳댳′B.㈵댳′댳C.댳㈵댳′D.′댳㈵댳6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一端截下尺，重斤；在细的一端截下尺，重斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问中间尺的重量为（）A.斤B.斤C.香斤D.斤7.已知函数겘앐＝，若关于앐的方程겘앐＝앐ݔ无实根，则实数的取值范围为（）A.겘（，B.겘试卷第1页，总11页,C.겘，）D.겘8.我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若縘縘′，为的中点，则縘겘A.ݔ.D′ݔ.C′ݔ.B′ݔ′二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。)9.已知겘앐＝cos앐ݔsin앐겘的最小正周期为，则下列说法正确的有（）A.＝B.函数겘앐在上为增函数C.直线앐縘要是函数＝겘앐图象的一条对称轴D.点겘是函数＝겘앐图象的一个对称中心10.甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字，，，，乙四个面上分别标有数字，，，，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件形为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）A.겘＝겘＝겘形B.겘形＝겘形＝겘C.겘形縘D.겘겘겘形縘试卷第2页，总11页,11.设，′为正实数，现有下列命题中的真命题有（）A.若′＝，则′댳B.若縘，则′댳′C.若ɲ′ɲ縘，则ɲ′ɲ댳D.若ɲ′ɲ＝，则ɲ′ɲ댳12.设函数겘앐＝minߍɲ앐ɲ앐ɲ앐ݔɲ，其中minߍ앐表示앐，，中的最小者．下列说法正确的有（）A.函数겘앐为偶函数B.当앐ݔ时，有겘앐겘앐C.当앐时，（겘앐）겘앐D.当앐时，ɲ겘앐ɲ겘앐三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。)13.겘앐ݔ겘앐的展开式中常数项为________．앐14.若函数겘앐＝，则겘＝________．15.如图，在形中，形＝，，为形上一点，且满足，若形＝，＝，则的值为________．16.在三棱锥形中，侧棱底面形，形＝，＝形＝，且＝形，则该三棱锥的外接球的体积为________．四、解答题：本题包括6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.在①겘ݔ′겘′＝겘㈵㈵，②㈵＝′cos形，③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在形中，内角，，形的对边分别是，′，㈵，且满足____，．（1）若ݔ㈵＝，求形的面积；试卷第3页，总11页,（2）求ݔ㈵的取值范围．18.已知数列ߍ的前项和，满足＝ݔ．（1）求数列ߍ的通项公式；（2）求数列ߍ겘的前项和．19.已知在四棱锥形中，形，＝形＝形，形＝，是的中点，为形的中点，是等边三角形，平面平面形．（1）求证：平面；（2）求二面角形的余弦值．20.已知函数겘앐縘앐앐겘앐．（1）当縘时，求曲线縘겘앐在앐縘处的切线方程；（2）当앐时，若不等式겘앐恒成立，求实数的取值范围．21.年前某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的家食品生产企业进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如图频率分布直方图．（1）求这家食品生产企业考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数（精确到香）（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这家食品生产企业中随机抽取家考核成绩不低于分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在的企业数为，求的分布列与数学期望试卷第4页，总11页,（3）若该市食品生产企业的考核成绩服从正态分布겘其中“近似为家食品生产企业考核成绩的平均数近似为样本方差，，经计算得＝香，利用该正态分布，估计该市家食品生产企业质量管理考核成绩高于香分的有多少家？（结果保留整数）．附参考数据与公式：，겘则겘댳ݔ댳겘，香ݔ香．겘댳ݔ香．22.已知函数．（1）求函数＝겘앐的最大值；（2）令겘앐＝겘앐ݔ겘앐겘앐ݔ앐，若겘앐既有极大值，又有极小值，求实数的范围；（3）求证：当时，．试卷第5页，总11页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省济南市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C2.A3.A4.D5.A6.B7.B8.A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9.B,D10.A,B,D11.A,D12.A,B,C三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.14.15.16.四、解答题：本题包括6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.由所选条件可知：＝，又′＝，ݔ겘＝cos㈵㈵ݔ＝＝′：得可理定弦余由，＝㈵ݔ㈵㈵＝㈵，解得：㈵＝，∴形＝㈵sin＝＝；试卷第6页，总11页,由′＝，＝，可得：′＝＝ݔ겘＝㈵㈵ݔ㈵㈵，即겘ݔ㈵＝㈵（），当且仅当＝㈵时取“＝“，整理可得：겘ݔ㈵，当且仅当＝㈵时取“＝“，∴ݔ又，㈵ݔ㈵′＝，∴ݔ㈵的取值范围为겘，]．18.＝ݔ，①，当＝时，＝ݔ，解得＝，当时，ݔݔ＝ݔ，②，由②-①可得ݔ＝ݔ，即ݔ＝，∴＝，∴数列ߍ是以为首项，以为公比的等比数列，∴＝겘，겘＝겘겘，则＝겘ݔ香香香ݔ겘ݔ겘ݔ겘겘，∴＝겘ݔ香香香ݔ겘ݔ겘ݔ겘겘，两式相减，可得＝ݔ香香香ݔ겘ݔ겘ݔ겘ݔ겘겘겘，＝ݔ겘겘，＝-겘겘겘，＝-겘）겘，∴＝--．19.证明：取的中点为，连结，形，设交形于，因为形，＝形＝形＝，所以四边形形与四边形形均为菱形；所以为形的中点，即、重合；所以也为的中点，试卷第7页，总11页,所以；又平面，平面，所以平面．由为等边三角形，为的中点，所以；又平面平面形且平面平面形＝，平面，所以平面形；取形的中点为，以为空间坐标原点，分别以、、的方向为앐轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系앐，如图所示；设＝，则겘，，），겘，形（，，，겘，（，-，）．＝겘，＝（，，）；设平面的一法向量为＝겘앐，由，得，即．令＝，则＝겘．设平面形的一个法向量为＝겘′㈵，＝（，，，由，得，即；令′＝，得＝（，，．所以二面角形的平面角的余弦值为cos＝＝＝，所以二面角形的余弦值为．试卷第8页，总11页,20.解：（1）当縘时，겘앐縘앐앐，겘앐縘앐，겘縘，即曲线縘겘앐在앐縘处的切线的斜率縘，又겘縘，故所求的切线方程是縘겘앐．（2）当앐时，若不等式겘앐恒成立겘앐min．易知겘앐縘앐．①若，则겘앐恒成立，겘앐在上单调递增；又겘縘，∴当앐ݔ时，겘앐겘縘，符合题意．②若，由겘앐縘，解得앐縘ln．则当앐겘ln时，겘앐댳，겘앐单调递减；当앐겘ln，ݔ时，겘앐，겘앐单调递增．∴앐縘ln时，函数겘앐取得最小值．当ln，即댳时，当앐ݔ时，겘앐겘縘，符合题意．当ln，即时，当앐겘ln时，겘앐单调递增，겘앐댳겘縘，不符合题意．综上，实数的取值范围是겘．21.这家食品生产企业考核成绩的平均数为：＝香ݔ香ݔ香ݔ香ݔ香ݔ香ݔ香＝香（分），由频率分布直方图得内，∴香ݔ香ݔ香ݔ香겘＝香，解得中位数香（分）．这家食品生产企业中考核成绩不低于分的企业有겘香ݔ香ݔ香＝家，其中考核成绩在内的企业有겘香ݔ香＝家，∴的可能取值为，，，，，试卷第9页，总11页,겘＝＝＝，겘＝＝＝，겘＝＝＝，겘＝＝＝，겘＝＝＝，∴的分布列为：겘＝＝．由题意得겘香香，∴ݔ香ݔ香＝香，∴겘ݔ，∴香（家），∴估计该市家食品生产企业质量管理考核成绩高于香分的有家．22.（1）函数＝겘앐定义域为앐겘ݔ，∴앐겘ݔ，앐겘겘앐当ݔ时，∴函数겘앐在区间겘上为增函数，ݔ为减函数，所以겘앐max＝겘＝；겘앐＝ݔln겘앐ݔ겘앐ݔ앐，겘앐＝겘ݔ앐＝，겘앐既有极大值，又有极小值，试卷第10页，总11页,等价于方程앐ݔ겘间区在＝ݔ앐겘ݔ上有两个不相等的实数根，即：，解得：，所以所求实数的取值范围是：겘，ݔ；证明：由（1）知当앐时，겘앐댳겘＝，∴ln겘ݔ겘nl∴，앐댳앐ݔ，∴ln겘ݔ겘nl，…，ݔ겘nl，ݔ겘nl，댳ݔ，∴ln겘ݔ겘nlݔ）ݔ겘nlݔݔ）댳ݔ++…+댳ݔ++…+＝ݔ（-+-+…+-）＝ݔ＝．试卷第11页，总11页
