2020-2021学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合에ߟʅꉀ㌳ꉀꉀ㌳ꉀʅ，에ߟሼ㌳ȁሼʅ，则에䁧A.ߟ㌳ꉀꉀ㌳B.ߟ㌳ꉀʅC.ߟꉀ㌳ꉀʅD.ߟꉀ㌳2.若非零向量，的夹角为，则“䁧ꉀ”是“香”的（）ʅA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若cos䁧에，则sinʅ에䁧㌳㌳A.B.C.D.ʅ㌳，则，，的大小关系为（）4.设에ʅ，에䁧，에logʅʅA.ȁȁB.ȁȁC.ȁȁD.ȁȁ5.若为䁨的边上一点，且＝，则䁨에䁧A.䁨ʅ䁨B.䁨ʅ䁨C.䁨ʅ䁨D.䁨ʅ䁨ʅሼ6.函数䁧ሼ에在其定义域上的图象大致为（）lnሼA.试卷第1页，总10页,B.C.D.7.牛顿冷却定律描述一个物体在常温下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经㌳过一定时间后的温度将满足에䁧䁧，其中是环境温度，称为ʅ半衰期．现有一杯䁨的热茶，放置在ʅ䁨的房间中，如果热茶降温到䁨，需要㌳分钟，则欲降温到䁨，大约需要多少分钟？䁧lgʅ㌳ꉀlgͶͶ㌳䁧A.㌳ʅB.㌳C.㌳D.㌳ሼ㌳，㌳ȁሼ8.已知函数䁧ሼ에ሼ，若函数䁧ሼ에䁧ሼሼ有两个不同的零点，ln，ȁሼ则实数的取值范围是（）ʅ㌳ln㌳㌳A.ꉀB.ꉀߟʅʅ试卷第2页，总10页,㌳ln㌳ʅln㌳ʅ㌳C.ꉀꉀD.䁧ꉀߟꉀʅʅ二、选择题：本题共4小题.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.)9.若香香，则（）㌳㌳㌳A.香B.ʅ香ʅC.ʅʅȁʅ䁧㌳D.香10.已知䁧ሼ是定义在上的奇函数，且满足䁧ሼ에䁧ሼ，则下列说法正确的是（）A.䁧ሼ에䁧ሼB.䁧ሼ在区间䁧ʅꉀʅ上单调递增C.䁧ʅ㌳䁧ʅʅ䁧ʅʅ㌳에D.䁧ሼ에cos䁧ሼ是满足条件的一个函数ʅ11.函数䁧ሼ에sin䁧ሼ，䁧，，是常数，香的部分图象如图所示，则（）A.䁧ሼ에ʅcos䁧ʅሼB.䁧ሼ에ʅsin䁧ʅሼC.䁧ሼ的对称轴为ሼ에㜸，㜸㌳ʅD.䁧ሼ的递减区间为㜸ꉀ㜸，㜸㌳ʅ㌳ʅsinሼ12.已知函数䁧ሼ에，ሼ䁧ꉀ，则下列结论正确的有（）ሼA.䁧ሼ在区间䁧ꉀ上单调递减B.若ȁሼ㌳ȁሼʅ，则ሼ㌳sinሼʅ香ሼʅsinሼ㌳C.䁧ሼ在区间䁧ꉀ上的值域为ꉀ㌳D.若函数䁧ሼ에ሼൌ䁧ሼcosሼ，且䁧에㌳，则䁧ሼ在䁧ꉀ上单调递减试卷第3页，总10页,三、填空题：)13.设，为单位向量，且에㌳，则ʅ에________．14.函数䁧ሼ에㌳ሼʅlnሼ的定义域为________．15.已知函数䁧ሼ是定义在上的偶函数，其导函数为ൌ䁧ሼ，若对任意的正实数，ሼൌ䁧ሼʅ䁧ሼȁ，䁧ሼ에ሼʅ䁧ሼ，则不等式䁧ʅሼ㌳香䁧ʅ的解集为________．16.如图，䁨、是两所学校所在地，䁨、到一条公路的垂直距离分别为䁨에㜸香，에ʅͶ㜸香．为了缓解上下学的交通压力，决定在上找一点，分别向䁨、修建两条互相垂直的公路䁨和，设䁨에䁧ȁȁ，则当䁨最小时，ʅ에________㜸香．四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)㌳17.在平面直角坐标系ሼ7.中，已知向量에䁧ꉀ，에䁧cosሼꉀsinሼ，ሼ䁧ꉀ．ʅʅʅ（1）若，求tanሼ的值；㌳（2）若在上的投影向量长度为，求ሼ的值．ʅ18.某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游．为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级．经市场调查，㌳ʅሼ改造后旅游增加值.万元与投入ሼ䁧ሼ㌳万元之间满足：.에ሼሼln（，ʅ为常数）．当ሼ에㌳万元时，.에㌳ͶͶ万元；当ሼ에㌳万元时，.에ʅ万元．（参考数据：lnʅ에Ͷ，ln에㌳㌳，ln에㌳）（1）写出该景点改造升级后旅游增加利润䁧ሼ万元与投入ሼ万元的函数解析式；（利润에旅游增加值-投入）（2）投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？（精确到㌳）19.在①cossin에，②cos에sin，③ʅʅʅ에䁨这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：在䁨中，它的内角，，䁨的对边分别为，，，若䁨的外接圆半径为ʅ，且에ʅ，_____．20.古希腊数学家海伦著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为、、，则其面积에䁧䁧䁧，这里에，已知在䁨中，䁨에，에䁨．ʅ试卷第4页，总10页,（1）设䁨에ሼ，试将三角形的面积表示成ሼ的函数；（2）求的最大值，并求三角形面积最大时sin的值．21.已知函数䁧ሼ에䁧ሼ㌳ʅ䁧lnሼሼ㌳䁧香．（1）讨论函数䁧ሼ的单调性；ሼ㌳（2）若关于ሼ的不等式ሼൌ䁧ሼlnሼ在䁧㌳ꉀ上恒成立，求实数的取值范围．ሼ22.已知函数䁧ሼ에ሼሼ㌳䁧．（1）若对任意的实数ሼ，函数.에ൌ䁧ሼ的图象与直线.에ሼ有且只有两个交点，求的取值范围；㌳ʅ（2）设䁧ሼ에䁧ሼሼ㌳，若函数䁧ሼ有两个极值点ሼ㌳，ሼʅ，且ሼ㌳ȁሼʅ，证明：ʅ䁧ሼ㌳䁧ሼʅ香ʅ．试卷第5页，总10页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.A3.B4.D5.A6.B7.C8.D二、选择题：本题共4小题.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.A,B,D10.A,C,D11.A,B12.A,C,D三、填空题：13.14.䁧ꉀ㌳㌳15.ߟሼȁሼȁʅʅ16.㌳ʅ四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.因为，所以에，㌳故cosሼsinሼ＝，所以tanሼ에；ʅʅ㌳ʅ因为在上的投影向量长度为，所以与的夹角为或．ʅcosሼ㌳sinሼʅʅ㌳①当夹角为时，cosȁ，香에＝＝，㌳㌳ʅ㌳所以sin䁧ሼ에，又ሼ䁧ꉀ，ʅʅ所以ሼ䁧ꉀ，所以ሼ＝，即ሼ에；cosሼ㌳sinሼʅʅʅ㌳②当夹角为时，cosȁ，香에＝＝，㌳㌳ʅ㌳所以sin䁧ሼ에，又ሼ䁧ꉀ，ʅ所以ሼ不存在．综上：ሼ的值为．试卷第6页，总10页,㌳㌳㌳lnʅ＝㌳ͶͶʅ18.由已知得：，㌳ʅʅ㌳ln＝ʅʅ㌳㌳化简得：＝，에，ʅʅ㌳ʅ㌳ሼ∴.에ሼሼln䁧ሼ㌳，ʅ㌳ʅ㌳ሼ㌳ʅʅ则该景点改造升级后旅游增加利润为：䁧ሼ에ሼሼlnሼ＝ሼሼʅʅሼln䁧ሼ㌳．㌳ʅʅሼ由（1）得：䁧ሼ에ሼሼln䁧ሼ㌳，ʅൌ㌳ʅ㌳ሼʅʅሼʅ䁧ሼ㌳䁧ሼʅ则䁧ሼ에ሼ＝＝，ʅʅሼʅሼʅሼ令ൌ䁧ሼ에得，ሼ에ʅ，当ሼ䁧㌳ꉀʅ时，ൌ䁧ሼ香，䁧ሼ单调递增；当ሼ䁧ʅꉀ时，ൌ䁧ሼȁ，䁧ሼ单调递减，∴ሼ에ʅ时，䁧ሼ取得最大值，且䁧ሼmax에䁧ʅ에㌳㌳，∴当投入ʅ万元时，旅游增加利润最大，最大利润为㌳㌳万元．19.若选①：因为cossin에，所以sincossinsin에sin䁨에sin䁧에sincoscossin，所以sinsin에cossin，因为sin，所以sin에cos，所以에．因为䁨的外接圆半径为ʅ，所以에ʅʅ，所以에sin에ʅʅ，sin所以에ʅ에，又因为ʅ에ʅʅʅcos에䁧ʅʅʅcos，所以에㌳ʅʅ，所以에＝䁧ʅʅ＝ʅ．ʅʅ若选②：因为cos에sin，所以sinsincos에sinsin，㌳因为sin，所以sincos에㌳，所以sin䁧에，ʅ因为ȁȁ，所以䁧ꉀ，所以＝，所以에．因为䁨的外接圆半径为ʅ，所以에ʅʅ，所以에sin에ʅ所以에sinʅ에ʅ，又因为ʅ에ʅʅʅcos에䁧ʅʅʅcos，所以㌳ʅ에ʅʅ，所以에．若选③：因为ʅʅʅ에䁨，试卷第7页，总10页,由余弦定理得ʅcos에ʅsin，所以tan에，所以에．因为䁨的外接圆半径为ʅ，所以에ʅʅ，所以에sin에ʅ，sin所以에ʅ에ʅʅ，又因为ʅ에ʅʅʅcos에䁧ʅʅʅcos，所以에ʅ，所以에＝䁧ʅ＝．ʅ20.设䁨에ሼ，则에䁨에ሼ，ሼሼʅሼʅሼ所以에에ʅ䁧ʅሼ䁧ሼʅ䁧ሼ䁧ሼ，䁧ʅȁሼȁ．ʅʅʅʅ法一：由（1）得，에ʅ䁧ʅሼ䁧ሼʅ䁧ሼ䁧ሼ＝ʅ䁧ሼʅ䁧㌳ሼʅʅ䁧ሼʅ䁧㌳ሼʅʅʅ에㌳ʅ，当且仅当ሼ에㌳ሼ，即ሼ에㌳时等号成立，ʅ所以得最大值为㌳ʅ．此时䁨에㌳，에㌳，䁨에，ʅ㌳䁧㌳ʅʅ由余弦定理得：cos에＝，ʅ㌳㌳所以sin에㌳cosʅ＝．法二：由（1）得：에ʅ䁧ʅሼ䁧ሼʅ䁧ሼ䁧ሼ＝ʅ䁧ሼʅ䁧㌳ሼʅ에ʅሼʅሼʅ＝ʅ䁧ሼʅ㌳ʅ，当ሼʅ에㌳，即ሼ에㌳时，取得最大值㌳ʅ．此时䁨에㌳，에㌳，䁨에，ʅ㌳䁧㌳ʅʅ由余弦定理得cos에＝，ʅ㌳㌳所以sin에㌳cosʅ＝．21.函数的定义域为䁧ꉀ，由䁧ሼ에䁧ሼ㌳ʅ䁧lnሼሼ㌳，㌳㌳ሼ得ൌ䁧ሼ에ʅ䁧ሼ㌳䁧㌳에ʅ䁧ሼ㌳䁧ሼሼ䁧ሼ㌳䁧ʅሼ䁧ሼ㌳에ʅ䁧ሼ㌳＝，ሼሼ令ൌ䁧ሼ에，得ሼ에或ሼ에㌳．ʅ当ȁȁʅ时，由ൌ䁧ሼ香，得ȁሼȁ或ሼ香㌳，由ൌ䁧ሼȁ，得ȁሼȁ㌳，ʅʅ∴函数䁧ሼ在区间䁧ꉀ，䁧㌳ꉀ上单调递增，在区间䁧ꉀ㌳上单调递减；ʅʅ当에ʅ时，ൌ䁧ሼ在䁧ꉀ恒成立，则函数䁧ሼ在䁧ꉀ上单调递增；试卷第8页，总10页,当香ʅ时，由ൌ䁧ሼ香，得ȁሼȁ㌳或ሼ香，由ൌ䁧ሼȁ，得㌳ȁሼȁ，ʅʅ∴函数䁧ሼ在区间䁧ꉀ㌳，䁧ꉀ上单调递增，在区间䁧㌳ꉀ上单调递减．ʅʅ综上所述，当ȁȁʅ时，函数䁧ሼ在区间䁧ꉀ，䁧㌳ꉀ上单调递增，在区间ʅ䁧ꉀ㌳上单调递减；ʅ当에ʅ时，函数䁧ሼ在䁧ꉀ上单调递增；当香ʅ时，函数䁧ሼ在区间䁧ꉀ㌳，䁧ꉀ上单调递增，在区间䁧㌳ꉀ上单调递减．ʅʅሼ㌳关于ሼ的不等式ሼൌ䁧ሼlnሼ在䁧㌳ꉀ上恒成立，ሼlnሼ可化为ʅሼ在䁧㌳ꉀ上恒成立．ሼlnሼ㌳lnሼʅሼʅ㌳lnሼ设䁧ሼ에ʅሼ，ሼ䁧㌳ꉀ，则ൌ䁧ሼ에ʅ＝，ሼሼʅሼʅʅ㌳令䁧ሼ에ʅሼ㌳lnሼ，则ൌ䁧ሼ에ሼ香，ሼ∴䁧ሼ在䁧㌳ꉀ上单调递增，则䁧ሼ香䁧에㌳香，∴ൌ䁧ሼ香，则函数䁧ሼ在䁧㌳ꉀ上单调递增，又䁧㌳에ʅ，∴ȁʅ．∴实数的取值范围是䁧ꉀʅ．22.䁧ሼ에ሼሼ㌳，则ൌ䁧ሼ에ሼ，由已知得：函数.에ሼ的图象与直线.에ሼ有两个交点，即方程ሼሼ에有两个不相等的实数解，设䁧ሼ에ሼሼ，则’䁧ሼ에ሼ㌳，令’䁧ሼ에得：ሼ에，ሼ䁧ꉀ时，’䁧ሼȁ，䁧ሼ单调递减，ሼ䁧ꉀ时，’䁧ሼ香，䁧ሼ单调递增，∴䁧ሼmin에䁧에㌳，∴㌳ȁ，∴ȁ㌳，且ሼ时，䁧ሼ；ሼ时，䁧ሼ，∴ȁ㌳时，函数.에’䁧ሼ的图象与直线.에ሼ有且只有两交点．ሼ㌳ʅሼ证明：䁧ሼ에ሼሼ，’䁧ሼ에ሼ，ʅ∵函数䁧ሼ有两个极值点ሼ㌳，ሼʅ，∴方程’䁧ሼ에有两个不同的实数解ሼ㌳，ሼʅ，由（1）知：䁧ሼ에ሼሼ，䁧ሼ에䁧ሼ에，且ሼȁȁሼ，㌳ʅ㌳ʅ∴䁧ሼ在区间䁧ꉀሼ㌳，䁧ሼʅꉀ上单调递增，在区间䁧ሼ㌳ꉀሼʅ上单调递减，且에ሼሼʅ，䁧ሼ에ሼʅሼ＝ሼʅሼሼሼʅ＝ሼʅሼʅʅʅʅʅʅʅሼʅ䁧ሼʅ香，设㜸䁧ሼ에ሼሼʅሼ䁧ሼ香，ሼሼʅ에㌳ሼʅ＝䁧㌳ሼʅȁ，则㜸ൌ䁧ሼ에ሼሼ∴㜸䁧ሼ在䁧ꉀ上单调递减，又∵㜸䁧에，∴㜸䁧ሼȁ恒成立，即䁧ሼʅȁ，∴ሼ㌳ȁሼʅȁ，试卷第9页，总10页,又∵䁧ሼ在䁧ሼ㌳ꉀ单调递减，∴䁧ሼ㌳香䁧ሼʅ，要证䁧ሼ㌳䁧ሼʅ香ʅ，只须证䁧ሼʅ䁧ሼʅ香ʅ，即证ሼʅሼʅሼʅʅ香，ʅ设䁧ሼ에ሼሼሼʅʅ䁧ሼ香，则’䁧ሼ에ሼሼʅሼ，令䁧ሼ에ሼሼʅሼ䁧ሼ香，则’䁧ሼ에ሼሼʅ香，所以䁧ሼ在䁧ꉀ单调递增，䁧ሼ香䁧에，即’䁧ሼ香，所以䁧ሼ在䁧ꉀ单调递增，䁧ሼ香䁧에，故当ሼ香时，ሼሼሼʅʅ香，即ሼʅሼʅሼʅʅ香，ʅ所以䁧ሼʅ䁧ሼʅ香ʅ，亦即䁧ሼ㌳䁧ሼʅ香ʅ．试卷第10页，总10页
