2020-2021学年山东省威海市文登区高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.)1.若밠ɲ孈＝ɲ，则的虚部为（）A..BC.ɲD.ɲ2.设全集＝，集合＝ݔlog＝⸶ݔ＝，ݔݔ⸶㌳䁃，则밠孈＝（）A.B.ݔݔ.Dݔݔ.C3.若，是平面外的两条直线，且，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设复数满足밠＝孈ɲሺ，则的最大值为（）A.B.C.D.5.函数⸶ݔ⸶与孈䁃㌳밠ݔ的图象如图，则下列不等式一定成立的是()A.㌳䁃B.ሺ㌳䁃C.㌳D.log㌳6.已知䁪ݔ＝孈ݔ밠数函若，数整大最的ݔ数实过超不示表䁪ݔ，函数的零点是ݔ䁃，则밠ݔ䁃孈＝（）A.B.C.D.7.《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设＝，＝，则该图形可以完成的无字证明为（）试卷第1页，总12页,A.밠㌳䁃㌳䁃孈B.ሺ밠㌳䁃㌳䁃孈C.밠㌳䁃㌳䁃孈D.밠㌳䁃㌳䁃孈8.已知数列的前项和为，满足＝ሺ，（，均为常数），且＝．设函数밠前的⸶列数则，孈밠＝⸶记，cosሺݔsin＝孈ݔ项和为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.)9.在数列中，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是（）A.不可能为䁃B.“等差比数列”中的项不可能为䁃C.等差数列一定是“等差比数列”D.等比数列一定是“等差比数列”10.函数밠ݔ밠，时䁃ᦙݔ当，孈⸶밠ሺ孈ݔ밠＝孈⸶ሺݔ밠有总⸶，ݔ意任对孈ݔ孈ᦙ䁃，，则下列命题中正确的是（）A.밠ݔ孈是上的减函数B.밠ݔ孈在㘠㘠䁪上的最小值为C.밠ݔ孈是奇函数D.若밠ݔ为围范值取的ݔ数实则，孈ݔ밠ሺ孈ݔ䁃11.四边形中，，＝䁃，＝＝，，则下列表示正确的是（）试卷第2页，总12页,A.B.C.D.12.在中，内角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则下列说法正确的是（）A.的最小值是B.的最大值是C.ሺ的最小值是D.ሺ的最小值是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．)13.在中国古代的音乐理论中，“宫、商、角、徵、羽”这五个音阶在确定第一个音阶之后，其余的音阶可采用“三分损益法”生成．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，……，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推，后来按照这种方法将音阶扩充到个，称为“十二律”．若能发出第六个基准音的乐器的长度为㘠，那么能发出第四个基准音的乐器的长度为________．14.已知单位向量满足．设，则向量的夹角的余弦值为________．15.如图所示，一块长为，宽为缺一角的长方形木板，是直线段．木工师傅想要在的中点处作延长线的垂线，可是直角曲尺长度不够，无法直接画出此线．请帮忙在边上找到一点，使得木工师傅能精准地完成该项任务，此时的长度为长．试卷第3页，总12页,16.如图，设的内角，，所对的边分别为，，，밠cosሺcos孈＝sin，且＝．若点是外一点，＝，＝，则当四边形面积最大时，＝________，面积的最大值为________四、解答题：本题共6小题，共70分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.在①③，＝ሺ②，＝ሺሺ＝这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中．若问题中的存在，求出的值；若不存在，请说明理由．设等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，设前项和为长若_____，_____，且得使，数整正的于大在存否是长＝，＝，，成等比数列？18.将函数밠ݔ孈＝sin밠ݔሺ孈밠㌳䁃䁃ᦙᦙ孈的图象向右平移后得到밠ݔ孈图象，已知밠ݔ与，孈䁃밠点于交相轴⸶与象图该，示所图如象图分部的孈ݔ轴相交于点、，点为最高点，且．밠Ⅰ孈求函数밠ݔ孈的解析式，并求出밠ݔ孈在밠䁃孈上的递增区间；밠Ⅱ孈在中，、、分别是角、、的对边，밠孈＝，且，求的最大值．19.已知向量，，函数．试卷第4页，总12页,밠Ⅰ孈若＝ݔ밠求，时当，孈的值域；밠Ⅱ孈若밠ݔ孈为偶函数，求方程在区间䁪上的解．20.已知正项数列的前项和为，ሺ＝ሺ足满且，＝．밠Ⅰ孈求数列的通项公式；밠Ⅱ孈当，ɲ（ɲ，，均为正整数）时，求ɲ和的所有可能的乘积ɲ之和．21.已知函数밠ݔሺݔnl孈ሺݔ밠＝孈ݔ．밠Ⅰ孈当＝时，求曲线⸶＝밠밠（点在孈ݔ孈）处的切线方程；밠Ⅱ孈若ݔ밠，时孈ሺݔ孈䁃，求实数的取值范围．22.已知函数밠ݔnis밠ݔ＝孈ݔ밠，ݔݔsocݔ＝孈ݔ孈．밠Ⅰ孈讨论밠ݔ孈在区间上的单调性；밠Ⅱ孈判断밠ݔ孈밠ݔ孈在区间上零点的个数，并给出证明．试卷第5页，总12页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省威海市文登区高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.B2.B3.A4.B5.D6.A7.D8.D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.B,C,D10.B,C,D11.12.A,D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．13.14.15.长밠孈16.,ሺ试卷第6页，总12页,四、解答题：本题共6小题，共70分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设等差数列的公差为，的公比为밠㌳䁃孈，由题意知，，∴＝＝，整理得ሺ＝，得＝밠㌳䁃孈，∴．（1）当选取条件①②时，有，即，解得．∴＝ሺ䁃，，∴，若，，成等比数列，则，∴即，孈㘠ሺ밠＝㘠ሺ＝䁃，解得＝，∵为正整数，∴不符合题意，此时不存在；（2）当选取条件①③时，有，∴，解得．∴＝ሺ，．∴＝，㘠＝，，若，，成等比数列，则，∴＝或㘠＝得解，䁃＝㘠ሺ即，孈ሺ밠＝（舍），试卷第7页，总12页,此时存在正整数＝㘠满足题意；（3）当选取条件为②③时，有，∴，解得．∴＝，，∴，若，，成等比数列，则，即＝，即ሺ＝䁃，解得＝．∵为正整数，∴不符合题意，此时不存在．18.（1）由题意知，由于，则，所以＝，即＝，又由于，所以．因为䁃ᦙᦙ，则，即，当时，得到，试卷第8页，总12页,所以밠ݔ孈在밠䁃孈上的递增区间为和．（2）因为，则，所以，由余弦定理得ሺcos＝＝，所以＝ሺ，，当且仅当＝时取等．故的最大值为．19.（I）向量，，函数，所以，当＝，，由，∴，∴，所以밠ݔ孈的值域为．밠㘠㘠孈若밠ݔ孈为偶函数，则밠ݔ孈＝밠ݔ孈恒成立，即成立，整理得sinݔ＝䁃，∴＝䁃，所以由得，试卷第9页，总12页,又ݔ䁪，∴．20.（1）∵ሺ＝ሺ，∴＝ሺ밠孈，两式相减得ሺ＝，∴，由＝＝又，ሺ＝ሺ得ሺ，∴．所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．（2）由ɲ和的所有可能乘积밠ɲ孈，可构成下表．设上表第一行的和为，则，所以…ሺ孈＝．21.（I）当＝时，밠ݔሺݔnl孈ሺݔ밠＝孈ݔ，，所以밠孈＝，即切线斜率＝，又밠孈＝䁃，所以切线方程为⸶＝밠ݔ即，孈ݔ⸶＝䁃．밠㘠㘠孈，．当ݔ밠，时孈ሺݔ孈䁃，试卷第10页，总12页,所以밠在孈ݔሺ孈上单调递增，所以밠ݔ孈밠孈＝ሺ．（1）当ሺ䁃即时，밠在孈ݔ밠以所，䁃孈ݔሺ孈上单调递增，所以밠ݔ孈밠孈＝䁃，满足题意．（2）当ሺᦙ䁃即ᦙ时，必存在ݔ䁃밠ሺ孈，当ݔ밠，孈ݔݔ孈ᦙ䁃，䁃ݔ밠，孈ሺݔ밠ݔ孈㌳䁃，䁃所以밠ݔ밠在，减递调单上孈䁃ݔ在孈ݔ䁃ሺ孈上单调递增，所以밠ݔ孈min＝밠ݔ䁃孈ᦙ밠孈＝䁃，所以밠ݔ孈䁃不恒成立，所以ᦙ不满足题意．综上，的取值范围为．22.밠㘠孈，．∵，∴sinݔᦙ䁃，∴밠ݔ孈㌳䁃，所以밠ݔ孈在上单调递增，밠ݔ孈ᦙ밠䁃孈＝䁃，∴밠ݔ孈在上单调递减．밠㘠㘠孈밠ݔ孈밠ݔ孈在区间上有且仅有个零点．证明：令밠ݔ孈＝밠ݔ孈밠ݔ孈＝ݔcosݔݔsinݔ，所以밠ݔ孈＝ݔ밠cosݔsinݔ孈밠ݔcosݔሺsinݔ孈，①当时，因为밠cosݔsinݔ孈㌳䁃，밠ݔcosݔሺsinݔ孈㌳䁃，∴单调递增，又，∴上有一个零点；②当，试卷第11页，总12页,∴밠ݔݔ밠ݔnis＝ݔnisݔݔnisݔݔnisݔݔsocݔ＝孈ݔ孈㌳䁃恒成立，∴上无零点；③当，∴밠ݔ孈＝ݔ밠cosݔsinݔ孈밠ݔcosݔሺsinݔ孈ᦙ䁃，∴上单调递减，，∴上必存在一个零点，综上，밠ݔ孈밠ݔ孈在区间上有且仅有个零点．试卷第12页，总12页
