2020-2021学年山东省菏泽市高三（上）期中数学试卷（A卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合＝‸㈱‸，＝‸㈱‸，则等于（）A.香B.香C.D.香2.己知为虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为（）香A.B.香C.D.香cos3.在䁨中，角，所对的边长分别为，、则“＝”是“”的（）cosA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为㈱㈱＝㈱㈱㈱㈱sin，如果㈱㈱＝，㈱㈱＝，香，则㈱㈱＝（）A.香䁞B.C.䁞D.5.中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：䁨＝log，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率䁨取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽、而将信噪比从提升至，则䁨大约增加了（）（附：lg＝䁈）A.䁞B.䁈䁞C.䁞D.䁞6.已知函数＝‸的图象如图所示，则此函数可能是（）sin䁞‸sin䁞‸A.‸B.‸香‸香‸‸香香‸cos䁞‸cos䁞‸C.‸D.‸香‸香‸‸香香‸7.已知数列为等差数列，首项为，公差为䁈，数列为等比数列，首项为，试卷第1页，总8页,公比为，设＝，为数列的前项和，则当时，的最大值是（）A.B.C.D.香‸‸8.已知函数‸䁞且，若‸有最小值，则‸香‸䁞实数的取值范围是（）䁈䁈䁈䁈䁈A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.)9.若正实数，满足＝，则下列选项中正确的是（）A.有最大值B.有最小值C.有最小值D.有最小值10.如图所示，在棱长为的正方体䁨ܥ香䁨ܥ中，，分别为棱䁨ܥ，䁨䁨的中点则下列结论正确的是（）A.直线与是平行直线B.直线与是异面直线C.直线与䁨所成的角为䁞D.平面截正方体所得的截面面积为11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设‸，用‸表示不超过‸的最大整数，则＝‸称为高斯函数，例如：香䁈＝香，＝，‸已知函数‸香，‸＝‸，则下列叙述正确的是（）‸A.‸是偶函数B.‸在上是增函数C.‸的值域是香D.‸的值域是香12.已知函数‸＝sin‸䁞满足‸＝‸，且‸在‸‸上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（）试卷第2页，总8页,A.‸＝B.若‸＝，则‸＝sin‸C.‸的最小正周期为D.‸在上的零点个数最少为个三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知角的终边经过点香䁈，则sincos的值等于________．14.已知曲线‸香䁈ln‸的一条切线的斜率为香，则该切线的方程为________．15.已知定义在上的奇函数‸满足‸䁈䁈香‸＝，且当‸香䁈时，‸＝log‸䁈香，若䁪＝，则实数＝________．16.如图，正四面体香䁨ܥ的棱长为，点、分别是棱ܥ、䁨的中点，则该正四面体的内切球半径为________，平面截该内切球所得截面的面积为________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.己知，，分别为䁨的三个内角，，䁨的对边，sin香sin䁨＝香sin．（1）求；（2）若＝，䁨的面积为䁈，求．18.新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为万元，每生产‸万箱，需另投入成本‸万元，当产量不足䁞万箱时，‸‸‸；当产量不小于䁞万箱时，‸＝‸䁞香䁞，若每箱口罩售价元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部‸销售完．（1）求口罩销售利润（万元）关于产量‸（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？19.等比数列中，，，䁈分别是表中第一、二、三行中的某一个数、且，，䁈中的任何两个数不在表的同一列．第一列第二列第三列第一行䁈第二行第三行䁪试卷第3页，总8页,（1）求数列的通项公式；（2）记为数列在区间中的项的个数，求数列的前项的和．20.已知函数‸＝sin‸䁞䁞只能同时满足下列三个条件中的两个：䁞①图象上一个最低点为香；䁈②函数‸的图象可由sin‸香的图象平移得到；③若对任意‸，‸‸‸恒成立，且㈱‸香‸㈱的最小值为．（1）请写出这两个条件序号，并求出‸的解析式；（2）求方程‸香＝在区间香上所有解的和．21.如图，点䁨是以为直径的圆上的动点（异于、），已知＝，䁪，四边形ܥ䁨为矩形，平面䁨平面䁨ܥ．设平面ܥ与平面䁨的交线为．（1）证明：平面䁨ܥ；（2）当三棱锥香䁨的体积最大时，求平面ܥ与平面䁨所成的锐二面角的余弦值．22.己知函数‸＝ln‸香‸．（1）讨论函数‸的单调性；（2）证明不等式‸香香‸‸恒成立．试卷第4页，总8页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省菏泽市高三（上）期中数学试卷（A卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.C3.C4.C5.B6.D7.A8.D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.A,C10.B,C,D11.B,D12.A,C三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.香14.‸香15.䁞16.,䁞䁈䁈四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.由于sin香sin䁨＝香sin，利用正弦定理可得香＝香，即＝香，由余弦定理＝香cos，可得cos，由于，所以．䁈因为䁨的面积为䁈，䁈所以sin＝䁈，即＝䁞，因为香＝䁞，所以＝䁈，所以．18.当‸䁞时，＝‸香‸‸香香‸‸香；䁞䁞当‸䁞时，＝‸香‸香䁞香＝䁞香‸．‸‸试卷第5页，总8页,香‸‸香‸䁞∴；䁞䁞香‸‸䁞‸当‸䁞时，香‸‸香香‸香，∴当‸＝时，取得最大值，最大值为万元；䁞䁞当‸䁞时，＝䁞香‸䁞香‸䁈．‸‸䁞当且仅当‸，即‸＝时，取得最大值，最大值为䁈万元．‸综上，当产量为万箱时，该口罩生产厂在生产中获得的利润最大，最大利润为䁈万元．19.由题意知：＝䁈，＝，䁈＝䁪，根据题意得：数列的通项公式为䁈．由题意及（1）知：＝＝，且当䁈䁈时，＝，所以＝䁈䁞䁪䁈，＝䁞䁈，＝．20.由于①②相互矛盾，故不会同时成立．由条件③可得函数的最小正周期为，∴＝，故②不适合，∴函数‸＝sin‸䁞䁞只能同时满足①③．䁞故＝，函数‸＝sin‸．䁞方程‸香＝，即sin‸，故‸洠，或‸洠，䁞䁞䁞䁞䁞洠．求得‸＝洠，或‸＝洠．䁈再根据‸香，可得‸＝香，香，，，，䁈䁈故方程‸香＝在区间香上所有解的和为香香香．䁈䁈䁈21.证明：∵四边形ܥ䁨为矩形，∴䁨ܥ䁨，∵䁨是以为直径的圆上的圆周角，∴䁨䁨，∵䁨ܥ䁨＝䁨，∴䁨平面䁨ܥ，∵ܥ䁨，䁨平面ܥ，ܥ平面ܥ，∴䁨平面ܥ，平面ܥ与平面䁨的交线为，得䁨，∴平面䁨ܥ．䁨中，设䁨＝‸，䁨香‸‸，∴䁨䁨䁨‸香‸，∵䁪，＝，∴䁈，∵平面䁨平面䁨ܥ，平面䁨平面䁨ܥ＝䁨，试卷第6页，总8页,∴平面䁨，∴香䁨＝香䁨䁨䁈䁈䁈䁈‸香‸䁈‸香‸‸香‸，䁞䁞䁞䁈䁈当且仅当‸＝香‸，即‸时，三棱锥香䁨的体积取最大值为，䁈∵䁨ܥ，∴䁨ܥ平面䁨，以䁨为坐标原点，以䁨，䁨，䁨ܥ所在直线分别为‸，，轴，建立空间直角坐标系，则䁨，，ܥ䁈，䁈，∴ܥ香䁈，ܥ，平面䁨的法向量，设平面ܥ的法向量‸，ܥ香‸䁈则，取‸䁈，得䁈，ܥ设平面ܥ与平面䁨所成的锐二面角为，㈱㈱则cos，㈱㈱㈱㈱∴平面ܥ与平面䁨所成的锐二面角的余弦值为．香‸22.香‸香‸䁞，‸‸当时，香‸䁞，所以‸在上单调递增，当䁞时，令香‸＝，得到‸，所以当‸时，香‸䁞，‸单调递增，当‸时，香‸，‸单调递减，综上所述，当时，‸在上单调递增，当䁞时，‸在单调递增，‸在单调递减．设函数‸＝‸香香ln‸，‸香则香‸＝香，‸可知香‸在上单调递增，又由香，香䁞试卷第7页，总8页,所以香‸在上有唯一实数根‸，且‸，则香‸＝‸香香，即‸香，‸‸当‸‸时，香‸，‸单调递减，当‸‸时，香‸䁞，‸单调递增，所以‸‸＝‸香香ln‸，结合‸香，知‸香＝香ln‸，‸‸香‸‸香所以‸‸‸香，‸‸‸则‸＝‸香香ln‸，即不等式‸香香‸‸恒成立．试卷第8页，总8页
