2020-2021学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）)1.若直线过两点ဂᔂ，tᔂ，则此直线的倾斜角是()A.B.C.D.2.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（）A.ᔂtᔂ，ᔂᔂB.ᔂᔂ，ᔂᔂC.ဂᔂᔂဂ，ᔂtᔂ.Dtᔂtᔂtဂ，ᔂtဂᔂ3.已知直线t＝与直线t＝平行，则它们之间的距离为（）A.B.C.D.ttt4.某学校计划从t名男生和名女生中任选人参加抗疫英雄事迹演讲比赛，记事件为“至少有t名女生参加演讲”，则下列事件中与事件对立的是（）A.恰有t名女生参加演讲B.至多有t名男生参加演讲C.恰有名女生参加演讲D.至多有t名女生参加演讲5.在四面体四面体中，空间的一点满足四面体，若四，面，t体共面，则＝（）A.B.C.D.ttt6.经统计某射击运动员随机命中的概率可视为，为估计该运动员射击次恰好命中次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生到之间取整数的随机数，用，，t表示没有击中，用，，，，，，表示击中，以个随机数为一组，代表射击次的结果，经随机模拟产生了t组随机数：t，t，，，，，，，，，t，t，，，，，t，，t根据以上数据，则可估计该运动员射击次恰好命中次的概率为（）tA.B.C.D.t7.在正方体四面体ܥဂ四四面平，中ܥ体面面ܥ与平面四面体ܥ所成二面角的正弦值为（）tA.B.C.D.tt试卷第1页，总8页,8.排球比赛的规则是局胜制（局比赛中，优先取得局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前t局中乙队以tt领先，则最后乙队获胜的概率是（）A.B.C.D.t二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。)9.空间直角坐标系中，下列说法正确的是（）A.点ᔂtᔂ关于坐标平面的对称点的坐标为ဂᔂtᔂဂB.点ᔂᔂt在平面面面上C.面＝表示一个与坐标平面平行的平面D.t＝表示一条直线10.点在圆体ttt＝上，点在圆体tttဂt＝上，则（）tA.的最小值为B.的最大值为C.两个圆心所在的直线斜率为ဂD.两个圆相交弦所在直线的方程为ဂဂt＝11.先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则下列说法正确的是（）A.＝时概率为B.＝时概率为C.t时的概率为D.是的倍数的概率是12.已知事件四，面，且四＝‴，面＝‴，则下列结论正确的是（）A.如果面四，那么四面＝‴，四面＝‴B.如果四与面互斥，那么四面＝‴，四面＝C.如果四与面相互独立，那么四面＝‴，四面＝D.如果四与面相互独立，那么四面＝‴t，四面＝‴t三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上）。)13.设直线tt＝，直线ttဂt＝．当＝________14.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．试卷第2页，总8页,15.若曲线体tttဂttဂ＝上所有的点均在第二象限内，则的取值范围是________．16.若为空间直角坐标系的原点，则以为球心，且与平面面＝相切的球的方程是________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)17.在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线ဂ＝垂直；②直线的一个方向向量为ဂᔂ；③与直线t＝平行．已知直线过点ᔂဂt，_____．（1）求直线的一般方程；（2）若直线与圆tt＝相交于，，求弦长．18.某次联欢会上设有一个抽奖游戏抽奖箱中共有个四种不同颜色且形状大小完全相同的小球，分别代表-等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项．其中红球代表一等奖且只有个，黄球代表三等奖．从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率．小华同学获得一次摸奖机会．（1）求他不能中奖的概率；（2）若该同学中一等奖或二等奖的概率是，试计算黄球的个数．19.如图所示，已知空间四边形四面体ܥ的每条边和对角线都等于，点，分别是四面，四ܥ的中点，设，，为空间向量的一组基底，四面，四体，四ܥ，试用基底向量法求解以下各题．求：（1）四面；（2）求异面直线体与面ܥ所成角的余弦值．20.某大学生命科学学院为激发学生重视和积极参与科学探索的热情和兴趣，提高学生生物学实验动手能力，举行生物学实验技能大赛．大赛先根据理论笔试和实验操作两部分进行初试，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有理论笔试和实验操作两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的比赛．在初试部分，甲、乙、丙三人在理论考tt试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所t试卷第3页，总8页,有考试是否合格相互之间没有影响．（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论笔试与实际操作两项考试，谁获得下一轮比赛的可能性最大？（2）这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，求恰有两人获得下一轮比赛的概率．21.如图，在三棱柱四面体ဂ四四四，体面四面平四四，中体面＝四体＝面体＝，四体面＝，是体体的中点．（1）求直线四面与平面四面所成角的正弦值；（2）在棱体体上是否存在一点，使得平面四面与平面四面所成二面角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22.圆tt＝，点为直线tဂ＝上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为四，面．（1）若点的坐标为tᔂ，求直线四、面的方程；（2）求证：直线四面恒过定点，并求出该定点的坐标．试卷第4页，总8页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.A2.C3.A4.C5.B6.C7.C8.D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9.B,C,D10.B,C11.A,D12.A,B,D三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上）。13.ဂ时，t；当＝时，tt14.t15.ဂᔂဂttt16.面，切点的坐标为ᔂᔂ四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.选①：因为直线ဂ＝的斜率为，因为直线ဂ＝与直线垂直，所以直线的斜率为ဂ，依题意，直线的方程为tဂဂ，即＝；选②：因为直线的一个方向向量为ဂᔂ，所以直线的向量为ဂ，试卷第5页，总8页,依题意，直线的方程为tဂဂ，即＝；选③：因为t＝的斜率为ဂ，又因为直线与t＝平行，所以直线的斜率为ဂ，依题意，直线的方程为：tဂဂ，即＝；tt圆＝的圆心ᔂ到直线＝的距离为，tt设，的中点为，由圆的半径为可知：tဂt，因此＝t＝，即弦长为．18.设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为四，面，体，ܥ，它们彼此是互斥事件，由题意得四，面体＝面体，由对立事件的概率公式得ܥ＝ဂ四面体＝ဂ面体ဂ四＝ဂဂ，t∴不能中奖的概率为．t∵四面，又四面＝四面，∴面ဂ，∵面体＝面体，∴体ဂ，∴中三等奖的概率为，∴黄球个数为（个）．19.由题意四面，四体，四ܥ，则＝＝＝，且ᔂᔂ的夹角为，∵面ܥ四ܥဂ四面ဂ，tttt∴四面ဂဂဂ，ttttt体体四四ဂ，面ܥ四ܥဂ四面ဂ，t试卷第6页，总8页,t∵体面ܥဂဂဂဂ，tttဂဂ，ttt∵体，面ܥ＝，t体面ܥ设异面直线体与面ܥ所成角，则cos＝，体面ܥt因此异面直线体与面ܥ所成角的余弦值．20.设“甲获得下一轮比赛”为事件四，“乙获得下一轮”为事件面，“丙获得下一轮”为事件体，其中四、面、体的每两次考试之间彼此相互独立，ttt由于四，面，体，tt所以四面体，所以甲获得下一轮比赛的可能性最大．设“三人考试后恰有两人获得下一轮比赛”为事件ܥ：则ܥ四面体四面体四面体，tt由四面体ဂ，四面体ဂ，ttt四面体ဂ，t所以概率和为：．21.以体为原点，体四为轴，体面为轴，体体为面轴，建立空间直角坐标系，则四ᔂᔂ，面ᔂᔂ，ᔂᔂt，四ᔂᔂ，∴四面ဂᔂᔂ，四ᔂᔂt，面ᔂᔂဂt，设平面四面的法向量ᔂᔂ面，四t面则，即，令＝，得ᔂဂᔂဂt，tဂ面面四面ဂဂ∴cos四面，ဂ，四面t∴直线四面与平面四面所成角的正弦值为．假设在棱体体上存在一点，使得平面四面与平面四面所成二面角为，设ᔂᔂ，，则四ᔂᔂဂ，设平面四面的法向量为ᔂᔂ面，四ဂ面则，即，取＝，则ᔂᔂ，ဂtt四面试卷第7页，总8页,由（1）知平面四面的法向量为ᔂဂᔂဂt，t∴cos，，tttt解得，∴在棱体体上存在一点，使得平面四面与平面四面所成二面角为，t点坐标为ᔂᔂ．22.圆tt＝，点为直线tဂ＝上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为四，面．若点的坐标为tᔂ，当切线的斜率不存在时，切线方程为＝t，满足题意．当切线斜率不存在时，设切线的方程为ဂ＝ဂt，即ဂဂt＝，ဂt由t，求得，此时切线方程为ဂ＝．t∵点为直线tဂ＝上一动点，设ဂᔂ，∵四、面为圆的切线，∴四四，面面，故四面是以为直径的圆和已知圆的公共弦，ဂttဂtt以为直径的圆为ဂဂ，tt即tဂဂtဂ＝①．又已知圆ttt＝②，用①-②可得四面直线的方程ဂဂ＝，即ဂဂ＝．令ဂ＝，求得，t故直线四面经过定点ᔂ．tt试卷第8页，总8页
