2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.若向量＝(-4, 2, 1)与向量＝(2, x, y)共线，则x-y＝（）A.-B.-C.D.12.已知过点A(a, 2)，B(-1, 4)的直线的斜率为-1，则a＝（）A.-2B.-1C.1D.23.圆x2+y2=9和圆x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是(    )A.外离B.相交C.内切D.外切4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？“，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？“如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈＝106立方寸），一斛粟米卖324钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子（）A.200两B.400两C.432两D.480两5.已知直线a(a-1)x+y-1＝0与直线3x+ay+1＝0垂直，则实数a＝（）A.B.0或C.0或D.6.过点A(0, 0)，B(2, 2)且圆心在直线y＝2x-4上的圆的标准方程为（）A.(x-2)2+y2＝4B.(x+2)2+y2＝4C.(x-4)2+(y-4)2＝8D.(x+4)2+(y-4)2＝87.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，D1D的中点，则异面直线EF与BD所成的角为（）A.30∘B.45∘C.60∘D.120∘8.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60∘，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折至△A1DE的位置，使得面A1ED⊥面BCDE，则点A1到直线DB的距离为{()试卷第11页，总12页, A.72B.74C.32D.3二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分．)9.若m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A.若m⊥α，n // α，则m⊥nB.若n⊥α，n // m，则m⊥αC.若m⊥α，m // β，则α⊥βD.若α⊥β，m // α，则m⊥β10.在同一平面直角坐标系中，表示直线l1:y＝ax+b与l2:y＝bx-a的图象可能正确的是（）A.B.C.D.11.如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为2C，则下述正确的是（）A.AB＝4B.∠B1CA＝45∘C.三棱锥B1-CAD1外接球的半径为试卷第11页，总12页, D.点D到面AB1C的距离为12.已知圆C:x2+y2＝4，直线l:x+y+m＝0，则下列结论正确的是（）A.当m＝2时，直线l与圆C相交B.P(x1, y1)为圆C上的点，则(x1-1)2+(y1-2）2的最大值为9C.若圆C上有且仅有两个不同的点到直线l的距离为1，则m的取值范围是D.若直线l上存在一点P，圆C上存在两点A、B，使∠APB＝90∘，则m的取值范围是[-4, 4]三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）)13.点(1, 1)到直线x+y+1＝0的距离为________．14.一个漏斗的上半部分是一个长方体，下半部分是一个四棱锥，两部分的高都为12米，公共的底面是边长为1米的正方形，那么这个漏斗的容积为________米．15.一条光线从点(2, 3)射出，经y轴反射后与圆(x-3)2+(y+2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为棱A1C1上的点．且BC1 // 平面AB1D，则＝________，已知AB＝BC＝AA1＝1，AC＝，以D为球心，以为半径的球面与侧面AA1B1B的交线长度为________．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设，试卷第11页，总12页, ，．（1）试用向量，，表示向量；（2）若＝3，＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60∘，求的值．18.已知C:x2+y2+ax＝0过点．（1）求圆C的标准方程及其圆心、半径；（2）若直线分别与x轴，y轴交于M、N两点，点P为圆C上任意一点，求△MNP面积的取值范围．19.从是PB的中点，③G是△PBC的内心三个条件中任选一个条件，补充在下面问题中，并完成解答，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，AB＝，AD＝2，E，F分别为PC，BD的中点．（1）判断EF与平面PAD的位置关系，并证明你的结论；（2）若G是侧面PBC上的一点，且_____，求三棱锥G-DCE的体积．20.某工厂M（看作一点）位于两高速公路（看作两条直线）OA与OB之间．已知M到高速公路OA的距离是9千米，到高速公路OB的距离是18千米，∠AOB＝60∘．以O为坐标原点，以OA为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．试卷第11页，总12页, （1）求直线OB的方程；（2）现紧贴工厂M修建一直线公路连接高速公路OA和OB，与OA的连接点为C，与OB的连接点为D，且M恰为该路段CD的中点，求CD的长度．21.如图，几何体为圆柱Ω的一半，四边形ABCD为圆柱Ω的轴截面，点E为圆弧上异于A，B的点，点F为线段ED上的动点．（1）求证：BE⊥AF；（2）若AB＝2，AD＝1，∠ABE＝30∘，且直线CA与平面ABF所成角的正弦值为．求平面ABF与平面ADE所成锐二面角的余弦值．22.在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l:y＝7x+4上，B(7, 3)，以线段AB为直径的圆C（C为圆心）与直线l相交于另一个点D，AB⊥CD．（1）求圆C的标准方程；（2）若点A不在第一象限内，圆C与x轴的正半轴的交点为P，过点P作两条直线分别交圆于M，N两点，且两直线的斜率之积为-5，试判断直线MN是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．试卷第11页，总12页, 参考答案与试题解析2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.B2.C3.B4.D5.C6.A7.C8.A二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分．9.A,B,C10.A,C11.A,D12.A,D三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13.14.2315.-或-16.1,四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.∵2＝，∴＝＝（-）＝（-），故＝+＝+（-）＝+，∵点E为AD的中点，故＝（+）＝++；试卷第11页，总12页, 由题意得：•＝，•＝3，•＝3，故＝-，故•＝（++）•（-）＝-++•+•-•＝-×9+×9+×3×3×cos60∘+×3×2cos60∘-×3×2cos60∘＝-．18.由题意，，解得a＝-2；∴圆C的方程为，化为标准方程：，圆心为（，0)，半径为；由题意得，M（，0)，N(0，），∴|MN|＝2，圆心C到直线MN的距离d＝，∴点P到直线MN的距离的最小值为2-，最大值为2+．∴△MNP的面积的最小值为，最大值为．∴△MNP面积的取值范围是[2-，2+]．19.EF与平面PAD平行．证明如下：连接AC，则AC与BD交于F点，在△PAC中，E，F均为中点，∴EF // PA，∵试卷第11页，总12页, EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴EF // 平面PAD．选择条件①：∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥BC，∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDC，∵＝2，∴G是BC的三等分点，且GC＝BC，∵BC＝AD＝2，∴三棱锥G-DCE的高为GC＝，∵PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC，在△PDA中，E为BD中点，∴S△CDE＝＝，∴三棱锥G-DCE的体积为：VG-DCE＝＝＝，选择条件②：∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥BC，∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDC，∵G是PB中点，E是PC中点，∴在△PBC中，GEBC，∴三棱锥G-DCE的高为GE＝1，∵PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC，在△PDC中，E为PC中点，∴S△CDE＝＝，∴三棱锥G-DCE的体积为：VG-DCE＝＝＝．选择条件③：∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥BC，∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDC，设△PBC的内切圆与PC边相切于点H，则GH⊥PC，∵BC⊥平面PCD，PC⊂平面PCD，∴BC⊥PC，∴GH // BC，∴三棱锥G-DCE的高为GH，在Rt△PDC中，PG＝＝2，BC＝2，∴PB＝＝2，∴GH＝＝2-，∵PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC，在试卷第11页，总12页, △PDC中，E为PC中点，∴S△CDE＝＝，∴三棱锥G-DCE的体积为：VG-DCE＝＝＝．20.因为∠AOB＝60∘，所以直线OB的斜率为k＝tan60∘＝，所以直线OB的方程为y＝x；设M(a, 9)，OB的方程为y＝x，所以点M到直线x-y＝0的距离为：＝18，解得a＝15或a＝-9（不合题意，舍去）；所以M(15，9)．设C(x1, 0)，D(x2, y2)，所以M为CD的中点，D在OB上；所以，解得，所以CD试卷第11页，总12页, 的长度为|CD|＝＝36．21.证明：∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AB是圆柱底面圆的直径，∴BE⊥AE，∵AD是圆柱的母线，∴AD⊥平面ABE，∴AD⊥BE，又AD∩AE＝A，∴BE⊥平面ADE，又AF⊂平面ADE，∴BE⊥AF．∵AB＝2，AE⊥BE，∠ABE＝30∘，∴AE＝1，BE＝，以E为原点，以EB，EA及平面ABE的过点E的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系E-xyz，如图所示，则C（，0，1)，A(0, 1, 0)，B（，0，0)，E(0, 0, 0)，D(0, 1, 1)，∴＝（-，1，-1)，＝（，-1，0)，＝(0, 1, 1)，＝(0, 1, 0)，设＝λ＝(0, λ, λ)，则＝-＝(0, λ-1, λ)，(0≤λ≤1)，设平面ABF的法向量为＝(x, y, z)，则，即，令x＝可得＝（，3，-3)，∴cos<，>＝＝，∵直线CA与平面ABF所成角的正弦值为，∴＝试卷第11页，总12页, ，解得λ＝，∴＝（，3，6)，由（1）可知BE⊥平面ADE，∴＝（，0，0)为平面ADE的法向量，∴cos<，>＝＝＝，∴平面ABF与平面ADE所成锐二面角的余弦值为．22.∵BD⊥AD，∴，设D(a, 7a+4)，得，得a＝0．∴D(0, 4)，在△ABD中，AB⊥CD，C为AB的中点，∴|AD|＝|BD|，设A(b, 7b+4)，则，解得b＝1或b＝-1．①当b＝1时，A(1, 11)，2R＝|AD|＝10，圆心为(4, 7)，此时圆的标准方程为(x-4)2+(y-7)2＝25；②当b＝1时，A(-1, -3)，2R＝|AD|＝10，圆心为(3, 0)，此时圆的标准方程为(x-3)2+y2＝25．∴圆的标准方程为(x-4)2+(y-7)2＝25或(x-3)2+y2＝25；由题意知，圆的标准方程为(x-3)2+y2＝25．设直线MP试卷第11页，总12页, 的方程为y＝k(x-8)，联立，得(1+k2)x2-(1+16k2)x+64k2-16＝0．∴，得，则M（，），∵两直线的斜率之积为-5，∴用-代替k，可得N（，）．当直线MN的斜率存在，即k2≠5时，＝＝．∴直线MN的方程为y-，整理得：y＝，可得直线MN过定点（）；当直线MN的斜率不存在时，即k2＝5时，直线MN的方程为x＝，过定点（）．综上可得，直线MN恒过定点（）．试卷第11页，总12页