2022年全国高考数学 试题分类汇编14 导数与积分

2022年全国高考理科数学试题分类汇编14：导数与积分一、选择题．（2022年高考湖北卷（理））已知为常数,函数有两个极值点,则（　　）A．B．C．D．【答案】D．（2022年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知函数,下列结论中错误的是（　　）A．R,B．函数的图像是中心对称图形C．若是的极小值点,则在区间上单调递减D．若是的极值点,则【答案】C．（2022年高考江西卷（理））若则的大小关系为（　　）A．B．C．D．【答案】B．（2022年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））设函数（　　）A．有极大值,无极小值B．有极小值,无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值【答案】D．（2022年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））设函数的定义域为R,是的极大值点,以下结论一定正确的是（　　）A．B．是的极小值点-25-\nC．是的极小值点D．是的极小值点【答案】D．（2022年高考北京卷（理））直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于（　　）A．B．2C．D．【答案】C．（2022年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知为自然对数的底数,设函数,则（　　）A．当时,在处取得极小值B．当时,在处取得极大值C．当时,在处取得极小值D．当时,在处取得极大值【答案】C二、填空题．（2022年高考江西卷（理））设函数在内可导,且,则______________【答案】2．（2022年高考湖南卷（理））若_________.【答案】3．（2022年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））若曲线在点处的切线平行于轴,则______.【答案】三、解答题．（2022年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知函数.(Ⅰ)设是的极值点,求,并讨论的单调性;(Ⅱ)当时,证明.【答案】-25-\n．（2022年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知函数(I)求证:(II)若恒成立,求实数取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.【答案】-25-\n-25-\n．（2022年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16分.设函数,,其中为实数.(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.-25-\n卷Ⅱ附加题部分答案word版[选做题]第21题,本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】解:(1)由即对恒成立,∴而由知<1∴由令则当<时<0,当>时>0,∵在上有最小值∴>1∴>综上所述:的取值范围为(2)证明:∵在上是单调增函数∴即对恒成立,∴而当时,>∴分三种情况:(Ⅰ)当时,>0∴f(x)在上为单调增函数∵∴f(x)存在唯一零点(Ⅱ)当<0时,>0∴f(x)在上为单调增函数∵<0且>0∴f(x)存在唯一零点(Ⅲ)当0<时,,令得∵当0<<时,>0;>时,<0∴为最大值点,最大值为-25-\n①当时,,,有唯一零点②当>0时,0<,有两个零点实际上,对于0<,由于<0,>0且函数在上的图像不间断∴函数在上有存在零点另外,当,>0,故在上单调增,∴在只有一个零点下面考虑在的情况,先证<0为此我们要证明:当>时,>,设,则,再设∴当>1时,>-2>0,在上是单调增函数故当>2时,>>0从而在上是单调增函数,进而当>时,>>0即当>时,>,当0<<时,即>e时,<0又>0且函数在上的图像不间断,∴函数在上有存在零点,又当>时,<0故在上是单调减函数∴函数在只有一个零点-25-\n综合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:当时,的零点个数为1;当0<<时,的零点个数为2．（2022年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设函数(其中).(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.【答案】(Ⅰ)当时,,令,得,当变化时,的变化如下表:极大值极小值右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.(Ⅱ),令,得,,令,则,所以在上递增,所以,从而,所以所以当时,;当时,;所以令,则,令,则所以在上递减,而-25-\n所以存在使得,且当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.因为,,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.综上,函数在上的最大值.www.zxsx.com．（2022年高考江西卷（理））已知函数,为常数且.(1)证明:函数的图像关于直线对称;(2)若满足,但,则称为函数的二阶周期点,如果有两个二阶周期点试确定的取值范围;(3)对于(2)中的和,设x3为函数f(f(x))的最大值点,A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0),记△ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性.【答案】(1)证明:因为,有,所以函数的图像关于直线对称.(2)解:当时,有所以只有一个解,又,故0不是二阶周期点.-25-\n当时,有所以有解集,又当时,,故中的所有点都不是二阶周期点.当时,有所以有四个解,又,,故只有是的二阶周期点.综上所述,所求的取值范围为.(3)由(2)得,因为为函数的最大值点,所以或.当时,.求导得:,所以当时,单调递增,当时单调递减;当时,,求导得:,因,从而有,-25-\n所以当时单调递增.．（2022年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））设,其中,曲线在点处的切线与轴相交于点.(1)确定的值;(2)求函数的单调区间与极值.【答案】．（2022年高考四川卷（理））已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.(Ⅰ)指出函数的单调区间;(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,求的最小值;(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.-25-\n【答案】解:函数的单调递减区间为,单调递增区间为,由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,故当点A处的切线与点B处的切垂直时,有.当时,对函数求导,得.因为,所以,所以.因此当且仅当==1,即时等号成立.所以函数的图象在点处的切线互相垂直时,的最小值为1当或时,,故.当时,函数的图象在点处的切线方程为,即当时,函数的图象在点处的切线方程为,即.两切线重合的充要条件是由①及知,.由①②得,.设,则.-25-\n所以是减函数.则,所以.又当且趋近于时,无限增大,所以的取值范围是.故当函数的图像在点处的切线重合时,的取值范围是．（2022年高考湖南卷（理））已知,函数.(I)记求的表达式;(II)是否存在,使函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)(II)由前知,y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的.因此,若在图像上存在两点满足题目要求,则P,Q分别在两个图像上,且.-25-\n不妨设所以,当时,函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直.．（2022年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知函数(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的极值.【答案】解:函数的定义域为,.(Ⅰ)当时,,,,在点处的切线方程为,即.-25-\n(Ⅱ)由可知:①当时,,函数为上的增函数,函数无极值;②当时,由,解得;时,,时,在处取得极小值,且极小值为,无极大值.综上:当时,函数无极值当时,函数在处取得极小值,无极大值.．（2022年高考新课标1（理））(本小题满分共12分)已知函数=,=,若曲线和曲线都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线(Ⅰ)求,,,的值;(Ⅱ)若≥-2时,≤,求的取值范围.【答案】(Ⅰ)由已知得,而=,=,∴=4,=2,=2,=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,设函数==(),==,有题设可得≥0,即,令=0得,=,=-2,(1)若,则-2<≤0,∴当时,<0,当时,>0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而==≥0,∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,-25-\n(2)若,则=,∴当≥-2时,≥0,∴在(-2,+∞)单调递增,而=0,∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,(3)若,则==<0,∴当≥-2时,≤不可能恒成立,综上所述,的取值范围为[1,].．（2022年高考湖北卷（理））设是正整数,为正有理数.(I)求函数的最小值;(II)证明:;(III)设,记为不小于的最小整数,例如,,.令,求的值.(参考数据:,,,)【答案】证明:(I)在上单减,在上单增.(II)由(I)知:当时,(就是伯努利不等式了)所证不等式即为:若,则①,-25-\n,故①式成立.若,显然成立.②,,故②式成立.综上可得原不等式成立.(III)由(II)可知:当时,．（2022年高考陕西卷（理））已知函数.(Ⅰ)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;(Ⅱ)设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线公共点的个数.(Ⅲ)设a<b,比较与的大小,并说明理由.【答案】解:(Ⅰ)f(x)的反函数.设直线y=kx+1与相切与点.所以-25-\n(Ⅱ)当x>0,m>0时,曲线y=f(x)与曲线的公共点个数即方程根的个数.由,则h(x)在h(x).所以对曲线y=f(x)与曲线公共点的个数,讨论如下:当m时,有0个公共点;当m=,有1个公共点;当m有2个公共点;(Ⅲ)设令.,且.所以．（2022年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设函数-25-\n(=2.71828是自然对数的底数,).(Ⅰ)求的单调区间、最大值;(Ⅱ)讨论关于的方程根的个数.【答案】解:(Ⅰ),由,解得,当时,,单调递减所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是,最大值为(Ⅱ)令(1)当时,,则,所以,因为,所以因此在上单调递增.(2)当时,当时,,则,所以,因为,,又-25-\n所以所以因此在上单调递减.综合(1)(2)可知当时,,当,即时,没有零点,故关于的方程根的个数为0;当,即时,只有一个零点,故关于的方程根的个数为1;当,即时,①当时,由(Ⅰ)知要使,只需使,即;②当时,由(Ⅰ)知;要使,只需使,即;所以当时,有两个零点,故关于的方程根的个数为2;综上所述:当时,关于的方程根的个数为0;当时,关于的方程根的个数为1;当时,关于的方程根的个数为2.．（2022年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知,函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)当时,求的最大值.-25-\n【答案】解:(Ⅰ)由已知得:,且,所以所求切线方程为:,即为:;(Ⅱ)由已知得到:,其中,当时,,(1)当时,,所以在上递减,所以,因为;(2)当,即时,恒成立,所以在上递增,所以,因为;(3)当,即时,,且,即2+0-0+递增极大值递减极小值递增所以,且所以,所以;由,所以(ⅰ)当时,,所以时,递增,时,递减,所以,因为-25-\n,又因为,所以,所以,所以(ⅱ)当时,,所以,因为,此时,当时,是大于零还是小于零不确定,所以①当时,,所以,所以此时;②当时,,所以,所以此时综上所述:.．（2022年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知函数(I)若时,,求的最小值;(II)设数列【答案】-25-\n．（2022年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使.(Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为,证明:当时,有.【答案】-25-\n．（2022年高考北京卷（理））设L为曲线C:在点(1,0)处的切线.(I)求L的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.-25-\n【答案】解:(I)设,则.所以.所以L的方程为.(II)令,则除切点之外,曲线C在直线的下方等价于.满足,且.当时,,,所以,故单调递减;当时,,,所以,故单调递增.所以,().所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.又解:即变形为,记,则,所以当时,,在(0,1)上单调递减;当时,,在(1,+∞)上单调递增.所以.)-25-