【解析分类汇编系列六：北京2022（二模）数学文】14：导数一、填空题．（2022北京昌平二模数学文科试题及答案）对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解为函数的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数,请你根据上面探究结果,解答以下问题:①函数的对称中心坐标为_________;②计算=________.，，，由，解得。，所以函数的拐点为，所以该函数的对称中心为。所以有，所以，所以。．（2022北京房山二模数学文科试题及答案）对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.若,则该函数的对称中心为____,计算____.，，，由，解得。-12-\n，所以函数的拐点为，所以该函数的对称中心为。所以有，所以，所以。二、解答题．（2022北京顺义二模数学文科试题及答案）已知函数,其中为正实数,是的一个极值点.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)当时,求函数在上的最小值.解:(Ⅰ)因为是函数的一个极值点,所以因此,解得经检验,当时,是的一个极值点,故所求的值为(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,令,得与的变化情况如下:+0-0+-12-\n所以,的单调递增区间是单调递减区间是当时,在上单调递减,在上单调递增所以在上的最小值为当时,在上单调递增,所以在上的最小值为．（2022北京顺义二模数学文科试题及答案）已知函数,,其中为常数,,函数的图象与坐标轴交点处的切线为,函数的图象与直线交点处的切线为,且.(Ⅰ)若对任意的,不等式成立,求实数的取值范围.(Ⅱ)对于函数和公共定义域内的任意实数.我们把的值称为两函数在处的偏差.求证:函数和在其公共定义域的所有偏差都大于2.解(Ⅰ)函数的图象与坐标轴的交点为,又函数的图象与直线的交点为,又由题意可知,又,所以不等式可化为即令,则,-12-\n又时,,故在上是减函数,即在上是减函数因此,在对任意的,不等式成立,只需所以实数的取值范围是(Ⅱ)证明:和的公共定义域为,由(Ⅰ)可知,令,则,在上是增函数故,即①令,则,当时,;当时,,有最大值,因此②由①②得,即又由①得由②得故函数和在其公共定义域的所有偏差都大于2．（2022北京海淀二模数学文科试题及答案）已知函数.(1)当时,若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行,求实数的值;(II)若,都有,求实数的取值范围.解:(I)当因为,-12-\n若函数在点处的切线与函数在点处的切线平行,所以,解得此时在点处的切线为在点处的切线为所以(II)若,都有记,只要在上的最小值大于等于0则随的变化情况如下表:0极大值当时,函数在上单调递减,为最小值所以,得所以当时,函数在上单调递减,在上单调递增,为最小值,所以,得所以综上,．（2022北京房山二模数学文科试题及答案）已知函数在处取得极值-12-\n.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求函数在上的最小值;(Ⅲ)求证:对任意,都有.(Ⅰ)由已知得即解得:当时,在处函数取得极小值,所以(Ⅱ),.-0+减增所以函数在递减,在递增当时,在单调递增,当时,在单调递减,在单调递增,.当时,,在单调递减,综上在上的最小值(Ⅲ)由(Ⅰ)知,.令得因为所以所以,对任意,都有．（2022北京朝阳二模数学文科试题）已知函数-12-\n,().(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)求证:当时,对于任意,总有成立.解:(Ⅰ)函数的定义域为,.当时,当变化时,,的变化情况如下表:00↘↗↘当时,当变化时,,的变化情况如下表:00↗↘↗综上所述,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,;当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当时,在上单调递增,;在上单调递减,且.所以时,.因为,所以,令,得.-12-\n①当时,由,得;由,得,所以函数在上单调递增,在上单调递减.所以.因为,所以对于任意,总有.②当时,在上恒成立,所以函数在上单调递增,.所以对于任意,仍有.综上所述,对于任意,总有．（2022北京丰台二模数学文科试题及答案）已知函数.(Ⅰ)若直线与曲线相切,切点是P(2,0),求直线的方程;(Ⅱ)讨论的单调性.解:(Ⅰ)∵P(2,0)在函数f(x)的图象上,\f(2)=0\,即,\f(x)=,\,\,\直线l的方程为y=x-2,即x-y-2=0(Ⅱ)的定义域为,,由得,①当时,在(0,+¥)上恒成立,当且仅当x=1时,,-12-\n的单调递增区间是(0,+¥);②当a=0时,,,,的单调递增区间是(1,+¥),的单调递减区间是(0,1);③当时,,,的单调递增区间是(0,a)和(1,+¥),的单调递减区间是(a,1);④当时,,,的单调递增区间是(0,1)和(a,+¥),的单调递减区间是(1,a).．（2022北京昌平二模数学文科试题及答案）已知函数(Ⅰ)若在处的切线与直线平行,求的单调区间;(Ⅱ)求在区间上的最小值.解:(I)的定义域为由在处的切线与直线平行,则此时令与的情况如下:()1—0+↘↗所以,的单调递减区间是(),单调递增区间是(II)由由及定义域为,令-12-\n①若在上,,在上单调递增,;②若在上,,单调递减;在上,,单调递增,因此在上,;③若在上,,在上单调递减,综上,当时,当时,当时,．（2022北京东城高三二模数学文科）已知函数.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)如果是曲线上的点,且,若以为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值.(共14分)解:(Ⅰ),定义域为,则.因为,由得,由得,所以的单调递增区间为,单调递减区间为.(Ⅱ)由题意,以为切点的切线的斜率满足,所以对恒成立.又当时,,所以的最小值为．（2022北京西城高三二模数学文科）已知函数,其中-12-\n.(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求在区间上的最小值.(Ⅰ)解:的定义域为,且当时,,,所以曲线在点处的切线方程为,即(Ⅱ)解:方程的判别式,令,得,或和的情况如下:↗↘↗故的单调增区间为,;单调减区间为.①当时,,此时在区间上单调递增,所以在区间上的最小值是②当时,,此时在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以在区间上的最小值是③当时,,此时在区间上单调递减,-12-\n所以在区间上的最小值是综上,当时,在区间上的最小值是;当时,在区间上的最小值是;当时,在区间上的最小值是.-12-
