第三章 导数及其应用第四讲 定积分与微积分基本定理1.[2021皖南八校联考]定积分-22(4-x2-sInx+x3)dx的值是( )A.πB.2πC.2π+2cos2D.π+2cos22.[2021山西太原五中模拟]下列表示曲线y=x2+2与直线y=x+2所围成的封闭图形的面积的式子中正确的是( )A.S=01(x2-x)dxB.S=01(x-x2)dxC.S=01(y2-y)dyD.S=01(y-y)dy3.[2021安徽省六安中学模拟]已知a=2-13,b=(2log23)-12,c=14π0sInxdx,则实数a,b,c的大小关系是( )A.a>c>bB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a4.[2021河南省信阳市一检]计算:0π2(-2sInx)dx= . 5.[2021贵阳市四校联考]e1(x2+1x)dx= . 6.已知函数f(x)=xcosx,则-22[x2+f(x)]dx= . 7.[2020江西吉安市期中]若12(1x+2mx)dx=3+ln2,则实数m的值为 . 8.设函数f(x)=ax2+b(a≠0),若03f(x)dx=3f(x0),x0>0,则x0= . 9.二次函数f(x)=x2-nx+m(n,m∈R)的图象如图3-4-1所示,则定积分01f(x)dx=( )图3-4-1A.23B.56C.2D.3第4页共4页\n10.设f(x)=1-x2,x∈[-1,1),x2-1,x∈[1,2],则-12f(x)dx的值为( )A.π2+43B.π2+3C.π4+43D.π4+311.[2020重庆巴蜀中学模拟]若-11(ax2+bsInx)dx=1,则sIn(aπ-π6)= . 12.[2020河北衡水中学二调]如图3-4-2,阴影部分是由曲线y=2x2和x2+y2=3及x轴围成的封闭图形,则阴影部分的面积为 . 图3-4-213.[交汇题]如图3-4-3,点A的坐标为(1,0),函数y=ax2的图象过点C(2,4),若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 . 图3-4-314.[2019安徽师大附中期中]若f(x)+01f(x)dx=x,则01f(x)dx= . 答案第四讲 定积分与微积分基本定理第4页共4页\n1.B 利用定积分的运算法则,将定积分-22(4-x2-sinx+x3)dx展开为-224-x2dx+-22(-sinx)dx+-22x3dx,∵-224-x2dx表示以(0,0)为圆心,2为半径的半圆的面积,∴-224-x2dx=12×4π=2π.又-22(-sinx)dx=cosx -22=cos2-cos(-2)=0,-22x3dx=14x4 -22=14×[24-(-2)4]=0,∴-22(4-x2-sinx+x3)dx=2π.故选B.2.B 依题意,在同一平面直角坐标系下画出曲线y=x2+2与直线y=x+2的图象(图略),注意到它们的交点坐标分别为(0,2)与(1,3),结合图形及定积分的几何意义可知,所围成的封闭图形的面积可用定积分表示为01(x-x2)dx,故选B.3.C c=-14cosx π0=12=(14)12,b=3-12=(13)12>c,a6=(2-13)6=14,b6=(3-12)6=127<a6,故a>b>c.4.-2 0π2(-2sinx)dx=2cosx 0π2=2cosπ2-2cos0=-2.5.e3+23 e1(x2+1x)dx=(13x3+lnx) e1=(13e3+lne)-13=e3+23.6.163 ∵f(x)=xcosx为奇函数,∴-22xcosxdx=0,∴-22(x2+xcosx)dx=-22x2dx=13x3-22=163.7.1 12(1x+2mx)dx=121xdx+122mxdx=lnx 12+mx2 12=3m+ln2,由题意得ln2+3m=3+ln2,故m=1.8.3 依题意得03f(x)dx=03(ax2+b)dx=(a3x3+bx) 03=3(ax02+b),化简得3ax02=9a(a≠0),即x02=3(x0>0),由此解得x0=3.9.B 由题图可知,1+2=n,1×2=m,所以n=3,m=2.所以01f(x)dx=01(x2-3x+2)dx=(13x3-32x2+2x)| 01=56.故选B.10.A -12f(x)dx=-111-x2dx+12(x2-1)dx=12π×12+(13x3-x)| 12=π2+43,故选A.11.-32 -11(ax2+bsinx)dx=a3x3 -11+0=2a3=1,∴a=32,∴sin(aπ-π6)=sin(32π-π6)=-cosπ6=-32.12.π2-38 记曲线y=2x2和圆x2+y2=3在第一象限内的交点为A,则A(32,32),作出射线OA,如图D3-4-2,图D3-4-2则射线OA的方程为y=3x(x≥0),第4页共4页\n则射线OA与抛物线y=2x2所围成的面积S1=032(3x-2x2)dx=(32x2-23x3) 032=32×34-23×338=38.记圆x2+y2=3与x轴正半轴交于点B.易知扇形AOB的圆心角为π3,则扇形AOB的面积S2=12×π3×3=π2,所以阴影部分的面积S=S2-S1=π2-38.13.512 因为函数y=ax2的图象过点C(2,4),所以a=1,即y=x2,又点A的坐标为(1,0),所以S矩形ABCD=4,阴影部分的面积S1=4-12x2dx=53,所以在矩形ABCD内随机取一点,此点取自阴影部分的概率P=S1S矩形ABCD=512.14.14 01f(x)dx是一个常数,设为c,则有f(x)=x-c,所以x-c+01(x-c)dx=x,解得c=14.故01f(x)dx=14.第4页共4页
