第三章 导数及其应用第四讲 定积分与微积分基本定理练好题·考点自测1.下列结论正确的个数为( )(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则abf(x)dx=abf(t)dt.(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且函数值恒为正数,则abf(x)dx>0.(3)若abf(x)dx<0,则由曲线y=f(x),直线x=a,直线x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.(4)曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积是01(x2-x)dx.(5)若f(x)是偶函数,则-aaf(x)dx=20af(x)dx.(6)若f(x)是奇函数,则-aaf(x)dx=0.A.3B.4C.5D.62.[湖北高考,5分][理]若函数f(x),g(x)满足-11f(x)·g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sin12x,g(x)=cos12x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( )A.0B.1C.2D.33.[湖南高考,5分][理]02(x-1)dx= . 4.若-11(ax2+sinx)dx=1,则实数a的值为 . 5.一物体作变速直线运动,其v-t曲线如图3-4-1所示,则该物体在12s~6s间的运动路程为 m. 第3页共3页\n拓展变式1.(1)设f(x)=x2,x∈[0,1],1x,x∈(1,e](e为自然对数的底数),则e0f(x)dx的值为 . (2)e11xdx+-224-x2dx= . 2.(1)曲线y=14x2和其在点(2,1)处的切线以及x轴围成的封闭图形的面积为 . (2)设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1且方向和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为 J(x的单位:m;力的单位:N). 答案第四讲 定积分与微积分基本定理1.B 对于(1),因为定积分的值仅仅取决于被积函数与积分的上限、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,故(1)正确;对于(2),由定积分的几何意义可知(2)正确;对于(3),因为a,b的大小不确定,故(3)错误;对于(4),曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积是01(x-x2)dx,故(4)错误;对于(5),由偶函数的定义可知,-aaf(x)dx=20af(x)dx,故(5)正确;对于(6),由奇函数的定义可知(6)正确.综上,正确的个数为4,选B.2.C 对于①,-11sin12xcos12xdx=-1112sinxdx=0,所以①是一组正交函数;对于②,-11(x+1)(x-1)dx=-11(x2-1)dx≠0,所以②不是一组正交函数;对于③,-11x·x2dx=-11x3dx=0,所以③是一组正交函数.选C.3.0 02(x-1)dx=(12x2-x) 02=12×4-2=0.第3页共3页\n4.32 因为(13ax3-cosx)'=ax2+sinx,所以-11(ax2+sinx)dx=(13ax3-cosx)-11=1,即(13a-cos1)-(-13a-cos1)=1,解得a=32.5.494 由题图可知,v(t)=2t,0≤t<1,2,1≤t≤3,13t+1,3<t≤6.由变速直线运动的路程公式,可得s=126v(t)dt=1212tdt+132dt+36(13t+1)dt=t2 121+2t 13+(16t2+t) 36=494(m).所以物体在12s~6s间的运动路程是494m.1.(1)43 因为f(x)=x2,x∈[0,1],1x,x∈(1,e],(13x3)'=x2,(lnx)'=1x,所以e0f(x)dx=01x2dx+e11xdx=13x3 01+lnx e1=13+1=43.(2)2π+1 易知e11xdx=lnx e1=1-0=1,因为-224-x2dx表示的是圆x2+y2=4面积的一半,故-224-x2dx=12π×22=2π.故原式=2π+1.2.(1)16 设曲线y=14x2在点(2,1)处的切线为l,因为y'=12x,所以直线l的斜率k=y'x=2=1,所以直线l的方程为y-1=x-2,即y=x-1.当y=0时,x-1=0,即x=1,曲线y=14x2、直线l与x轴所围成的封闭图形如图D3-4-1中阴影部分所示,所以所求面积S=0214x2dx-12×1×1=112x3 02-12=16.(2)342 变力F(x)使质点M沿x轴正向从x=1运动到x=10所做的功W=110F(x)dx=110(x2+1)dx=(13x3+x) 110=342(J).第3页共3页
