考点十三：利用导数探求参数的范围问题【考纲要求】（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.【命题规律】利用导数探求参数的范围问题每年必考，有时出现在大题，有时出现在小题中，变化比较多.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．这也是2022年考试的热点问题.【典型高考试题变式】（一）利用单调性求参数的范围例1.【2022全国1卷（文）】若函数在上单调递增，则的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】C28\n【方法技巧归纳】谈到必要条件的问题，如取，则转化为，因此直接选择C选项．这缘于运气好，若不然取，则式子恒成立；取，则，此时只能排除A选项．此外，可在未解题之前取，此时，则，但此时，不具备在上单调递增，直接排除A，B，D.故选C．【变式1】【改编例题中条件，给定函数在给定区间上单调（并未告知单增还是单减），求参数范围】【2022河北大名一中高三实验班第一次月考（理）】若函数在区间上为单调函数,则的取值范围是_______.【答案】或【解析】本题考查导数的运算、函数的性质,考查恒成立问题与转化思想、计算能力.在区间上,,当函数在区间上为单调增函数时,恒成立,则;当函数在区间上为单调减函数时,恒成立,则,所以或【变式2】【改编例题中条件，给定函数不单调，求参数取值范围】【2022福建高三总复习训练（文）】已知函数在不单调，则的取值范围是___.28\n【答案】【解析】令得或，则或，解得.【变式3】【改编例题中条件，给定函数存在单调区间，求参数取值范围】【2022河北武邑中学高三下学期期中考试（文）】已知函数，（为常数）.（1）函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；（2）若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；（3）若，，且，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）试题解析:（1）因为，所以，因此，所以函数的图象在点处的切线方程为，由得.由，得.28\n（还可以通过导数来求）（2）因为，所以，由题意知在上有解，因为，设，因为，则只要解得，所以的取值范围是.（3）不妨设，因为函数在区间上是增函数，所以，函数图象的对称轴为，且.当时，函数在区间上是减函数，所以，所以，等价于，即，等价于在区间上是增函数，等价于在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，所以，又，所以.（二）利用极值、最值求参数的取值范围例2.【2022山东卷（理）】设函数（为常数，28\n是自然对数的底数）.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.【答案】（I）的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.【解析】试题分析：（I）函数的定义域为，由可得，得到的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）分，，，时，讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少.试题解析：（I）函数的定义域为，由可得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）由（I）知，时，函数在内单调递减，故在内不存在极值点；当时，设函数，因为，当时，当时，，单调递增，28\n故在内不存在两个极值点；当时，得时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以函数的最小值为，函数在内存在两个极值点；当且仅当，解得，综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.【方法技巧归纳】转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答.【变式1】【改编函数条件，给定函数极大、极小值都有求参数范围】【2022河南驻马店正阳第二高级中学开学考（文）】已知函数既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】函数既存在极大值，又存在极小值，，方程有两个不同的实数解，28\n，解得或，实数的取值范围是，故选B.【变式2】【改编函数条件，给定函数有最大值求参数范围】【2022海南八校联盟考试（理）】已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B（三）在不等式恒成立的条件下，求参数的取值范围例3.【2022天津，文19】设，.已知函数，.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.【答案】（Ⅰ）递增区间为，，递减区间为.（2）（ⅰ）在处的导数等于0.（ⅱ）的取值范围是.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数，再根据，求得两个极值点的大小关系，，再分析两侧的单调性，求得函数的单调区间；（Ⅱ）（ⅰ）根据与有共同的切线，根据导数的几何意义建立方程，求得28\n，得证；（Ⅲ）将不等式转化为，再根据前两问可知是极大值点，由（I）知在内单调递增，在内单调递减，从而在上恒成立，得，，再根据导数求函数的取值范围.（II）（i）因为，由题意知，所以，解得.所以，在处的导数等于0.（ii）因为，，由，可得.又因为，，故为的极大值点，由（I）知.另一方面，由于，故，由（I）知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.由，得，.令，，所以，28\n令，解得（舍去），或.因为，，，故的值域为.所以，的取值范围是.【方法技巧归纳】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.【变式1】【改编例题中函数模型，求参数的最值】【2022全国2卷（理）改编】已知函数=.（1）讨论的单调性；（2）设，当时，,求的最大值.【答案】（1）函数在R上是增函数；（2）2.【解析】试题分析：本题第（1）问，判断函数的单调，关键是判断导数的正数；对第（2）问，可构造函数.试题解析：（1）因为，当且仅当时等号成立，所以函数在R上是增函数；（2）因为=，所以=.(1)当时,,等号仅当时成立，所以在R上单调递增，而，所以对任意，；（2）当时，若满足，即时，，而，因此当时，，28\n综上，的最大值为2.【变式2】【改编例题条件，在不等式有解条件下，求参数的取值范围】【2022全国1卷（文）】设函数，曲线处的切线斜率为0（1）求b；（2）若存在使得，求a的取值范围。【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）根据曲线在某点处的切线与此点的横坐标的导数的对应关系，可先对函数进行求导可得：，利用上述关系不难求得，即可得;（2）由第（1）小题中所求b，则函数完全确定下来，则它的导数可求出并化简得：根据题意可得要对与的大小关系进行分类讨论，则可分以下三类：（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，即，所以.（ⅱ）若，则，故当时，；当时，，在单调递减，在单调递增.所以，存在，使得的充要条件为，无解则不合题意.（ⅲ）若，则.综上，a的取值范围是.试题解析：（1），由题设知，解得.（2）的定义域为，由（1）知，，（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，28\n所以，存在，使得的充要条件为，即，所以.【变式3】【改编例题条件，双变量问题求参数的取值范围】【2022湖南永州高三上学期一模（文）】已知函数，，其中为自然对数的底数.（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）已知，若对任意，有，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）对函数进行求导可得，分为，，和四种情形，根据导数与0的关系可判断出其单调性；（2）将题意转化为恒成立，利用导数判断单调性求出最值即可.试题解析：（1），①当时，，，在上单调递增，②当时，，，在上单调递增，③当时，28\n时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，④当时，，，在上单调递增，综上所述，当或时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减（2），依题意，时，恒成立.已知，则当时，，在上单调递减，而在上单调递增，，，得，当时，，与在上均单调递增，，，，得与矛盾，综上所述，实数的取值范围是【变式4】【改编例题条件，函数中的恒成立与存在性的综合问题】【2022河北石家庄二中八月模拟考试（理）】已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间时;(2).【解析】试题分析：（1）求导，由得减区间，由得增区间；28\n（2）当时，，又，所以对任意，存在，使得成立，存在，使得成立，存在，使得成立，的图象与直线有交点，方程在上有解.试题解析：（Ⅰ）因为，所以，因为的定义域为，当时，或时，所以的单调递减区间是，单调递增区间时.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，又，所以对任意，存在，使得成立，存在，使得成立，存在，使得成立，因为表示点与点之间距离的平方，所以存在，使得成立，的图象与直线有交点，方程在上有解，28\n设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，又，所以的值域是，所以实数的取值范围是.【数学思想】数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.【利用导数探求参数的范围问题注意点】（1）研究函数问题应竖立定义域优先原则；(2)任意，指的是区间内的任意一个自变量；存在，指的是区间内存在一个自变量，故本题是恒成立问题和有解问题的组合.【典例试题演练】1．【2022云南师大附中高考适应性月考卷二（理）】已知函数，，如果对于任意的，都有成立，则实数的取值范围为（）28\nA.B.C.D.【答案】C2．【2022山西五校第一次联考（理）】已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为()A.B.3C.D.【答案】A【解析】令，易得与互为反函数与关于直线对称原命题等价于在上恒成立.记，记，同理可得，综上的最大值为，故选A.3．【2022辽宁大连八中模拟考试（理）】设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是()A.B.C.D.28\n【答案】A4．【2022安徽合肥高三调研性检测（理）】已知函数，若有且仅有一个整数，使，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】因，故由题设问题转化为“有且仅有一个整数使得或”。因为，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，即函数在处取最大值，由于，因此由题设可知，解之得，应填答案。5．【207广西柳州铁路一中月考（文）】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是_____【答案】【解析】由题意,y′=lnx+1−2mx令f′(x)=lnx−2mx+1=0得lnx=2mx−1，函数有两个极值点,等价于f′(x)=lnx−2mx+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2mx−1的图象有两个交点，28\n，当m=时，直线y=2mx−1与y=lnx的图象相切，由图可知,当0<m<时，y=lnx与y=2mx−1的图象有两个交点，则实数m的取值范围是(0,)，故答案为：(0,).6．【2022贵州遵义四中第一次月考（理）】已知函数在内存在最小值，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由题，令可得或，当时在上恒成立，在上单调递增，在内不存在最小值；当时在和上单调递增，在上单调递减，根据题意此时得到；当时在和上单调递增，在上单调递减，根据题意此时得到；综上的取值范围为7．【2022河北邢台第一次月考（文）】已知函数的图象在点处的切线方程为.28\n（1）若在上是单调函数，求的取值范围；（2）证明：当时，.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）函数的图象在点处的切线方程为，得出，得出m的值，在上是单调函数，利用子集的思想得解.（2）证明：当时，，可证出即可.（2）证明：由（1）知.设则，令得；令得.∴.∵，∴，∴，∴，∴.8．【2022河南豫南九校第二次质量考评数学（文）】已知函数.（1）若在处的切线是，求实数的值；28\n（2）当时，函数有且仅有一个零点，若此时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）若在处的切线是得出解得a;(2)有且仅有一个零点即方程（）有唯一的实数根,分离（，即直线与函数（）的图象有唯一的交点，构造函数研究单调性得出最值即得解.试题解析：（1），（），由已知，∴（2）由已知（）即方程（）有唯一的实数根所以（）即直线与函数（）的图象有唯一的交点构造函数（）（）令，，而，∴；，，；，，∴，；，且，；，所以28\n已知可化为（）的最小值（）所以在上减，在上增所以综上实数的取值范围是9．【2022辽宁大连八中模拟考试（理）】已知函数，函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若，求证：不等式：.【答案】(1)略（2）（3）略（Ⅱ）即在上恒成立设，考虑到，在上为增函数，当时，在上为增函数，恒成立28\n当时，，在上为增函数，在上，，递减，，这时不合题意，综上所述，（Ⅲ）要证明在上，只需证明由（Ⅱ）当a=0时，在上，恒成立再令在上，，递增，所以即，相加，得所以原不等式成立.10．【2022江西名校模拟考试第一次五校联考数学（理）】已知函数的图象在点处的切线方程为.(1)求曲线在处的切线方程；(2)若存在，满足，求的取值范围.【解析】试题分析：（1）由求得切线方程为；（2）将问题转化为在上有解，令，,再由求得，在上递减.试题解析：（1）由，得.28\n所以，，则，故所求切线方程为即.（2），即，所以问题转化为在上有解.令，，则因为，所以，，从而，，所以，即函数在上递减，因此，.要使在上有解，必须有，即所以的取值范围为11．【2022江苏常州横林高级中学高三月考（理）】已知函数，实数为常数）．（1）若，且函数在上的最小值为0，求的值；（2）若对于任意的实数，函数在区间上总是减函数，对每个给定的，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先求导，求函数在已知区间上的极值，注意极值点是否在定义域内，进行分类讨论，确定最小值，列出关于28\n的方程即可得结果；（2）函数在区间上单调递减，转化为导函数小于等于0恒成立，再转化为二次函数根的分布问题.试题解析：（1）当时，．则．令，得（舍），．①当>1时，1-0+↘↗∴当时,．令，得．②当时，≥0在上恒成立，在上为增函数，当时,．令，得（舍）．综上所述，所求为．(2)∵对于任意的实数，，在区间上总是减函数，则对于x∈(1,3)，＜0，∴在区间[1,3]上恒成立．设g(x)=，∵，∴g(x)在区间[1,3]上恒成立．由g(x)二次项系数为正，得即亦即28\n∵=，∴当n＜6时，m≤，当n≥6时，m≤，∴当n＜6时，h(n)=，当n≥6时，h(n)=，即12．【2022天津市滨海新区八校联考（理科）】已知函数.（1）若函数在定义域单调递增，求实数的取值范围；（2）令，，讨论函数的单调区间；（3）如果在（1）的条件下，在内恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）试题解析：（1），因为在定义域单调递增，所以恒成立即而（当且仅当时等号成立），故即为所求.（2），①若，，则在单调递增28\n②若，令，，，则在单调递增，在单调递减（3）由题意，须对任意恒成立，设，∵，，∴，，∴即在上单调递增，若对任意恒成立，则应令综上所述，即为所求.13．【2022贵州省贵阳市第一中学高三上学期适应性月考（一）（理）】设，.（1）令，求的单调区间；（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先求导数得，再求函数导数，根据讨论导数是否变号，进而确定单调区间（2）根据讨论单调性，确定极值取法：当时，时，单调递减，时单调递增，在处取得极小值；当时，时单调递减，当时，时，单调递增，时单调递减，在处取得极大值。28\n试题解析：（Ⅰ）由可得，则，当时，时，，函数单调递增，当时，时，，函数单调递增，时，，函数单调递减.所以当时，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.①当时，单调递增，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以在处取得极小值，不合题意.②当时，，由（Ⅰ）知在内单调递增，可得当时，，时，，所以在(0，1)内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意.③当时，即，在(0，1)内单调递增，在内单调递减，所以当时，，单调递减，不合题意.28\n④当时，即当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极大值，合题意.综上可知，实数a的取值范围为.14．【2022吉林省百校联盟九月联考数学（文）】已知函数，．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，且，，，求实数的取值范围．【答案】(1)函数的单调递增区间为;(2).【解析】试题分析：（1）,解得,从而得到增区间；（2），，等价于对恒成立，或对恒成立，而，只需研究的符号情况即可.试题解析：（1）依题意，，令，解得，故函数的单调递增区间为．（2）当，对任意的，都有；当时，对任意的，都有；故对恒成立，或对恒成立，而，设函数，． 则对恒成立，或对恒成立，，28\n①当时，∵,∴，∴恒成立，∴在上单调递增，，故在上恒成立，符合题意． ②当时，令，得，令，得，故在上单调递减，所以，而，设函数，，则，令，则（）恒成立，∴在上单调递增，∴恒成立，∴在上单调递增，∴恒成立，即，而，不合题意． 综上，故实数的取值范围为.28
