活页作业 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1，或x≤1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1解析：由逆否命题的定义知D正确．答案：D2．下列判断错误的是( )A．命题“若q则p”与命题“若綈p则綈q”互为逆否命题B．“am2<bm2”是“a<b”的充要条件C．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假D．命题“∅{1,2}或4∈{1,2}”为真解析：m＝0时，“a<b”不能推出“am2<bm2”，故“am2<bm2”不是“a<b”的充要条件．答案：B3．(2022·山东高考)设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”，是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为函数f(x)＝ax在R上是减函数，所以0<a<1.由函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数可得：2－a>0，即a<2.所以若0<a<1则a<2，而若a<2推不出0<a<1.所以“函数f(x)＝ax在R上是减函数”，是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件．答案：A4．(理)(2022·汕头模拟)已知p：|x－10|＋|9－x|≥a的解集为R，q：＜1，则綈p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为|x－10|＋|9－x|≥|x－10＋9－x|＝1，所以p：|x－10|＋|9－x|≥a的解集为R时，a≤1，从而綈p：a>1，显然綈p⇒q，反之不成立．答案：A4\n4．(文)(2022·东营模拟)命题“tanx＝0”是命题“cosx＝1”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：x＝π时，tanx＝0，但cosx＝－1；cosx＝1时，sinx＝0，故tanx＝0.所以“tanx＝0”是“cosx＝1”的必要不充分条件．答案：B5．(2022·唐山模拟)已知p：＜1，q：(x－a)(x－3)＞0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1) B．[1,3]C．[1，＋∞) D．[3，＋∞)6．(2022·长春模拟)下列命题中，错误的是( )A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”B．已知x，y∈R，则x＝y是xy≥2成立的充要条件C．对命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，则x2＋x＋1≥0D．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假解析：A正确；B中，xy≥2⇔(x－y)2≤0⇔x＝y，故B正确，C正确；D中，p∨q为假命题，则p、q中都为假命题，故错误．答案：D二、填空题7．(2022·黄山模拟)已知命题甲：a＋b≠4，命题乙：a≠1且b≠3，则命题甲是命题乙的________条件．解析：∵a＝1或b＝3⇒/a＋b＝4，且a＋b＝4⇒/a＝1或b＝3，∴a＝1或b＝3是a＋b＝4的既不充分也不必要条件．由原命题与逆否命题等价可知，“a＋b≠4”是“a≠1且b≠3”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要8．设有如下三个命题：4\n甲：m∩l＝A，m，l⊂α，m，l⊄β；乙：直线m，l中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，乙是丙的________条件．解析：由题意乙⇒丙，丙⇒乙．故当甲成立时乙是丙的充要条件．答案：充要9．(理)给出下列四个命题：①若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题②命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy＝0，则x≠0”③“sinα＝”是“α＝”的充分不必要条件④命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”其中正确命题的序号是____________．(写出所有正确命题的序号)解析：①p真q假，p∧q为假命题；②“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0”；③“sinα＝”是“α＝”的必要不充分条件；④正确．答案：④9．(文)(金榜预测)下列四个命题：①“∃x∈R，x2－x＋1≤0”的否定；②“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；③在△ABC中，“A>30°”是“sinA>”的充分不必要条件；④“函数f(x)＝tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ(k∈Z)”．其中真命题的序号是____________(把真命题的序号都填上)．三、解答题10．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x||x－1|≤m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；4\n(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．4
