（福建专用）2013年高考数学总复习第一章第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件课时闯关（含解析）一、选择题1．下列命题为真命题的是( )A．若|x|＝1，则x＝1B．若＜1，则＞1C．若x＝y，则logax＝logayD．若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数解析：选D.根据条件逐一验证．当x＝－1时，A错；当a、b异号时，虽然＜1，但＜0，B错；当x＝y≤0时，C错．2．(2011·高考山东卷)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析：选A.命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以选A.3．(2011·高考天津卷)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.当x≥2且y≥2时，一定有x2＋y2≥4；反过来当x2＋y2≥4，不一定有x≥2且y≥2，例如x＝－4，y＝0也可以，故选A.4．设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β.那么( )A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题解析：选D.易知①②都假．5．(2012·福州质检)若集合A＝，B＝{x|(x＋2)·(x－a)＜0}，则“a＝1”是“A∩B＝∅”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选A.当a＝1时，B＝{x|－2＜x＜1}，∴A∩B＝∅，即“a＝1”是“A∩B＝∅”的充分条件；而当A∩B＝∅时，a≤2，不一定a＝1.二、填空题6．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________个．4\n解析：原命题为假命题，所以逆否命题也是假命题，逆命题“若m2>n2，则m>－n”，也是假命题，从而否命题也是假命题．答案：37．在△ABC中“·＝0”是“△ABC为直角三角形”的________条件．解析：若·＝0，则∠BAC＝90°，△ABC为直角三角形；但△ABC为直角三角形，并没说明哪一个角是直角，故逆推不行．答案：充分不必要条件8.(2012·三明调研)给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①∵当k＞0时，Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，∴①是真命题．②否命题：“若a≤b，则a＋c≤b＋c”是真命题．③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．④逆否命题为：“若a，b不全为0，则a2＋b2≠0”是真命题．答案：①②④三、解答题9．已知命题P：“若ac≥0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．(1)写出命题P的否命题；(2)判断命题P的否命题的真假，并证明你的结论．解：(1)命题P的否命题为：“若ac<0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．(2)命题P的否命题是真命题．证明如下：∵ac<0，∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．10．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明：充分性：∵∠A＝90°，∴a2＝b2＋c2，∴方程x2＋2ax＋b2＝0可化为：x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a)2－c2＝0，∴(x＋a＋c)(x＋a－c)＝0，∴x1＝－a－c；x2＝－a＋c；同理方程：x2＋2cx－b2＝0可化为：x2＋2cx＋c2－a2＝0，解得x3＝－a－c；x4＝a－c；∴两方程有公共根－a－c.必要性：设两方程有公共根为α，则α2＋2aα＋b2＝0①α2＋2cα－b2＝0②①②两式相加得：α2＋(a＋c)α＝0，若α＝0，代入任一方程得b＝0(不合题意)，故α＝－a－c，代入任一方程均可得a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°.综上所述：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.一、选择题1．不等式x2－2x－3<0成立的一个必要不充分条件是( )A．－1<x<3B．0<x<3C．－2<x<3D．－2<x<14\n解析：选C.A是充要条件；B是充分不必要条件；D是既不充分也不必要．2．(2012·南平调研)下列命题中正确的是( )A．“a＝b”是“a·c＝b·c”的必要条件B．a，l是直线，α是平面，a⊂α，l⊄α，则“l∥a”是“l∥α”的充要条件C．在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”充分非必要条件D．“x∈R，x2＋≥m”恒成立的充要条件是m≤3解析：选D.对于选项A：a·c＝b·c，若c＝0，则a，b∈R，故A不正确；对于选项B：因为l∥a，a⊂α，l∉α，所以l∥α.反之，若l∥α，a⊂α，l∉α，则直线a与l可能平行或异面，故B不正确；对于选项C，在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件，故C不正确；对于选项D：x2＋≥m恒成立的充要条件是m不大于x2＋的最小值，而x2＋＝(x2＋1)＋－1≥3(当且仅当x＝±1时取等号)，即m≤3，从而命题成立．二、填空题3．命题“若ab＝0，则a，b中至少有一个为零”的逆否命题是________.它是________命题(真、假)．解析：“若p则q”的逆否命题为：“若非q则非p”．原命题中“a、b中至少有一个为零”的否定为：“a≠0且b≠0”；“ab＝0”的否定为：“ab≠0”．答案：若a≠0且b≠0，则ab≠0；或“若a、b都不为零，则ab≠0” 真4．(2012·海口质检)已知集合A＝，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．解析：A＝＝{x|－1＜x＜3}．∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴A⊆B.∴m＋1＞3，即m＞2.答案：(2，＋∞)三、解答题5．设M＝，N＝{x|x2＋(a－8)x－8a≤0}，命题p：x∈M，命题q：x∈N；(1)当a＝－6时，判断命题p是命题q的什么条件；(2)求a的取值范围，使命题p是命题q的一个必要不充分条件．解：M＝{x|x＜－3或x＞5}；N＝{x|(x－8)(x＋a)≤0}．(1)当a＝－6时，N＝{x|6≤x≤8}；∵N⊂M，∴当x∈N时，有x∈M，但x∈M时，不能得出x∈N，∴p是q的必要不充分条件．(2)当a＜－8时，N＝{x|8≤x≤－a}，有N⊂M，满足p是q的必要不充分条件；当a＞－8时，N＝{x|－a≤x≤8}，要使N⊂M，须－a＞5，即－8＜a＜－5；当a＝－8时，N＝{8}，满足命题p是q的必要不充分条件．综上知：a＜－5.6．(2012·福州调研)已知集合A＝，B＝{x||x－m|≥1}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．解：先化简集合A，由y＝x2－x＋1，配方得：y＝2＋.4\n因为x∈，所以y∈，所以A＝.化简集合B，由|x－m|≥1，解得x≥m＋1或x≤m－1.所以B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}．因为命题p是命题q的充分条件，所以A⊆B.所以m＋1≤或m－1≥2，解得m≤－或m≥3，则实数m的取值范围是∪[3，＋∞)．4
