活页作业 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．(理)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. B．2 C. D.解析：据双曲线方程得其渐近线方程为y＝±x，若该渐近线与圆相切，则有r＝＝.答案：A2．(2022·九江模拟)已知直线l：x＋ky－3k＝0，如果它与双曲线－＝1只有一个公共点，则k的取值个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：直线经过定点(0,3)，过该点可作双曲线的两条切线，或分别与两条渐近线平行的直线，此时直线l与双曲线只有一个公共点，故这样的k值有4个．答案：D3．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )9\nA．(0,2) B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：根据抛物线的定义可知|FM|＝y0＋2，又由圆与准线相交可得y0＋2＞4，即y0＞2，故选C.答案：C4．(理)设斜率为1的直线l与椭圆C：＋＝1相交于不同的两点A，B，则使|AB|为整数的直线l共有( )A．4条 B．5条 C．6条 D．7条4．(文)直线y＝x＋1截抛物线y2＝2px所得弦长为2，此抛物线方程为( )A．y2＝2x B．y2＝6xC．y2＝－2x或y2＝6x D．以上都不对解析：由消去y整理得x2＋(2－2p)x＋1＝0.设两交点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝2p－2，x1x2＝1.∴2＝·＝·.解得p＝－1或p＝3，∴抛物线方程为y2＝－2x或y2＝6x.答案：C5．(理)已知曲线C1方程为x2－＝1(x≥0，y≥0)，圆C2方程为(x－3)2＋y2＝1，斜率为k(k＞0)的直线l与圆C2相切，切点为A，直线l与曲线C1相交于点B，|AB|＝9\n，则直线AB的斜率为( )A. B.C．1 D.解析：如图，由题意可知，C2为双曲线的右焦点，BA为圆C2的切线，于是，|AC2|＝1，|AB|＝，所以|BC2|＝2，易知B为双曲线的右顶点，故可设直线AB的方程为y＝k(x－1)，由直线AB与圆C2相切得＝1，又k＞0，所以k＝.答案：A5．(文)已知点A(1,2)是抛物线C：y2＝2px与直线l：y＝k(x＋1)的一个交点，则抛物线C的焦点到直线l的距离是( )A. B.C. D．2解析：将点A(1,2)代入y2＝2px中，可得p＝2，即得抛物线y2＝4x，其焦点坐标为(1,0)，将点A(1,2)代入y＝k(x＋1)中，可得k＝1，即得直线x－y＋1＝0，∴抛物线C的焦点到直线l的距离d＝＝.答案：B6．(2022·金华模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线与C相交于A，B两点，若＝3，则k等于( )A．1 B. C. D．2解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵＝3，∴y1＝－3y2，∵e＝，∴设a＝2t，c＝t，b＝t，∴x2＋4y2－4t2＝0.①设直线AB的方程为x＝sy＋t.9\n代入①式，消去x整理得(s2＋4)y2＋2sty－t2＝0，∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，∴－2y2＝－，－3y＝－，解得s2＝，∴k＝.答案：B二、填空题7．(理)(2022·宜春模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝________.7．(文)(2022·南昌模拟)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为__________________．解析：在△MF1F2中，∠MF2F1＝60°，|F2F1|＝2c，所以|MF1|＝2c，由MF1⊥x轴，且|MF1|＋|MF2|＝2a，得2c＋4c＝2a，则e＝2－.答案：2－8．抛物线y2＝4x，O为坐标原点，A，B为抛物线上两个动点，且OA⊥OB，当直线AB的倾斜角为45°时，△AOB的面积为________．解析：设A，B，据题意可得将A、B点的坐标代入，整理可得①故S△AOB＝|OA|·|OB|＝·9\n＝·＝·，②将①式代入②式即得S△AOB＝8.答案：8三、解答题9．(理)已知点A(－1,0)，B(1，－1)，抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.(1)若向量O与O的夹角为，求△POM的面积；(2)求证：直线PQ恒过一个定点．(1)解：设点M，P，∵P，M，A三点共线，∴kAM＝kPM，即＝，即＝，∴y1y2＝4.∴O·O＝·＋y1y2＝5.∵向量O与O的夹角为，∴|O|·|O|·cos＝5，∴|O||O|＝5.∴S△POM＝|O|·|O|·sin＝×5×＝.(2)证明：设点Q坐标为(，y3)，∵M，B，Q三点共线，∴kBQ＝kQM，9\n即＝，即＝.∴(y3＋1)(y1＋y3)＝y－4，即y1y3＋y1＋y3＋4＝0.∵y1y2＝4，∴y1＝，∴·y3＋＋y3＋4＝0，整理得4(y2＋y3)＋y2y3＋4＝0，(*)又kPQ＝＝，解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4，联立，得2y2－(8＋p)y＋8＝0，y1＋y2＝，y1y2＝4，由已知A＝4A，∴y2＝4y1，由根与系数的关系及p>0可得y1＝1，y2＝4，p＝2，∴抛物线G的方程为x2＝4y.(2)由题意知直线l的斜率存在，且不为0，设l：y＝R(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0)，由，得x2－4kx－16k＝0，9\n由Δ>0得k<－4或k>0，∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k，BC中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，∴b＝2(k＋1)2，∴b>2，故b的取值范围是(2，＋∞)．10．(理)(2022·济宁模拟)如图，在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝1，以A，B为焦点的椭圆经过点C.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点E(0,1)，问是否存在直线l与椭圆交于M，N两点且|ME|＝|NE|，若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)连接AC，依题意设椭圆的标准方程为：＋＝1(a＞b＞0)，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5.∴CA＋CB＝5＋3＝2a，a＝4.又2c＝4，∴c＝2，从而b＝＝2，∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由题意知，当l与x轴垂直时，不满足|ME|＝|NE|，当l与x轴平行时，|ME|＝|NE|显然成立，此时k＝0.设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，由消去y整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－48＝0.由直线与椭圆交于两点得Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－48)＞0，∴16k2＋12＞m2.①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为F(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝.∵|ME|＝|NE|，∴EF⊥MN，∴kEF·k＝－1，9\n即×k＝－1，化简得m＝－(4k2＋3)，结合①得16k2＋12＞(4k2＋3)2，即16k4＋8k2－3＜0，解得－＜k＜(k≠0)．综上可知，存在满足条件的直线l，且其斜率k的取值范围为.10．(文)(2022·郴洲模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M(，2)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l：x＝my＋1与椭圆C交于P、Q两点，直线A1P与A2Q交于点S.试问：当直线l变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线的方程，并证明你的结论：若不是，请说明理由．9\n＝＝＝，所以x0＝9.所以当直线l变化时，点S恒在定直线x＝9上．9
