第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·重庆)命题“若p，则q”的逆命题是( )．A．若q，则pB．若綈p，则綈qC．若綈q，则綈pD．若p，则綈q答案 A2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )．A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析 否命题既否定题设又否定结论，故选B.答案 B3．(2022·杭州模拟)若数列{an}满足＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等方比数列”．甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则( )．A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件解析 若＝p，则an＋1＝±an，不能说明{an}一定为等比数列．若＝p0，则＝p，即{an}是“等方比数列”．因此，由甲不能推导出乙，由乙能推导出甲．故甲是乙的必要条件但不是充分条件．答案 B4．已知A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 由题意得，A＝{x∈R|x>2}，A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，∴A∪B＝C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要条件．5\n答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·扬州模拟)下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③“x>2”是“<”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③<，则－＝<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要条件；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．答案 ①②6．(2022·舟山三模)已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是________． ①否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题；②逆命题是“若m≤1，则f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题；③逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题；④逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题．解析 f′(x)＝ex－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，则m≤ex在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确．反之，若m≤1，则f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故填④.答案 ④三、解答题(共25分)7．(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若ab＝0，则a＝0或b＝0；(2)若x2＋y2＝0，则x，y全为零．解 (1)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．(2)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．5\n逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．8．(13分)指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sinA＝sinB；(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.解 (1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sinA＝sinB，反之，若sinA＝sinB，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条件．(2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，显然綈q⇒綈p，但綈p綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件．(4)条件：p：x＝1且y＝2，条件，q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但q⇒/p，故p是q的充分不必要条件．分层B级 创新能力提升1．(2022·潍坊二模)下列说法中正确的是( )．A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题B．若函数f(x)＝ln的图象关于原点对称，则a＝3C．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝成立D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件解析 A中命题的逆命题是“若a<b，则am2<bm2”是假命题，因为m＝0时，上述定理就不正确，故A错误；B选项，若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数，则f(0)＝ln(a＋2)＝0，解得a＝－1，故B错误；C选项，sinx＋cosx＝sin∈[－，]，且∈[－，]，因此C是真命题．选项D，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件．故选C.答案 C2．(2022·潍坊一模)命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )．A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤55\n解析 命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.答案 C3．(2022·长沙模拟)若方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________．解析 方程x2－mx＋2m＝0对应的二次函数f(x)＝x2－mx＋2m，∵方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，∴f(3)<0，解得m>9，即：方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m>9.答案 m>94．已知集合A＝，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．解析 A＝＝{x|－1<x<3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB，∴m＋1>3，即m>2.答案 (2，＋∞)5．已知全集U＝R，非空集合A＝，B＝.(1)当a＝时，求(∁UB)∩A；(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．解 (1)当a＝时，A＝＝，B＝＝，∴∁UB＝.∴(∁UB)∩A＝.(2)∵a2＋2>a，∴B＝{x|a<x<a2＋2}．①当3a＋1>2，即a>时，A＝{x|2<x<3a＋1}．∵p是q的充分条件，∴A⊆B.∴即<a≤.②当3a＋1＝2，即a＝时，A＝∅，不符合题意；5\n③当3a＋1<2，即a<时，A＝{x|3a＋1<x<2}，由A⊆B得∴－≤a<.综上所述，实数a的取值范围是∪.6．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a>0)．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解 p：x2－8x－20≤0⇔－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－a2≤0⇔1－a≤x≤1＋a.∵p⇒q，q⇒/p，∴{x|－2≤x≤10}{x|1－a≤x≤1＋a}．故有且两个等号不同时成立，解得a≥9.因此，所求实数a的取值范围是[9，＋∞).5
