课时提升作业(二)命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2022·韶关模拟)命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是( )A.若a≠b≠0,a,b∈R,则a2+b2=0B.若a=b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0C.若a≠0且b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0【解析】选D.“a2+b2=0”的否定为“a2+b2≠0”,“a=b=0”的否定为“a≠0或b≠0”,故选D.2.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是( )A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题【解析】选A.逆否命题为:若a,b都小于1,则a+b<2是真命题,所以原命题是真命题.逆命题为:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2.例如,a=3,b=-3满足条件a,b中至少有一个不小于1,但此时a+b=0,故逆命题是假命题.3.(2022·邢台模拟)设a∈R,则“a>1”是“<1”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由<1得a<0,或a>1.因为{a|a>1}{a|a<0或a>1},则“a>1”是“<1”的充分不必要条件.4.(2022·福建高考)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若a=3,则A={1,3},从而A⊆B.若A⊆B,则a=2或a=3,从而“a=3”是“A⊆B”-6-\n的充分而不必要条件.【加固训练】(2022·上海模拟)设集合M={x|x≥2},P={x|x>1},那么“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为M∪P={x|x>1},M∩P={x|x≥2},所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件.故选B.5.(2022·兰州模拟)已知命题p:x2+2x-3>0,命题q:x>a,且q的一个充分不必要条件是p,则a的取值范围是( )A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.[-1,+∞)D.(-∞,-3]【解析】选B.由题意知p⇒q,且qp,则有q⇒p,且pq.从而p是q的必要不充分条件.所以{x|x>a}{x|x2+2x-3>0},即{x|x>a}{x|x>1或x<-3},从而a≥1.【误区警示】解答本题易忽略端点的取值而造成错解.6.(2022·忻州模拟)命题“对任意x∈[1,2),x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A.a≥4 B.a>4 C.a≥1 D.a>1【解析】选B.由题意知a≥x2对x∈[1,2)恒成立,当x∈[1,2)时,1≤x2<4,则a≥4.从而a>4是命题为真的一个充分不必要条件.【加固训练】下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )A.a>b+1,B.a>b-1C.a2>b2D.a3>b3【解析】选A.a>b+1⇒a>b;-6-\n反之,例如a=2,b=1满足a>b,但a=b+1即a>b推不出a>b+1,故a>b+1是a>b成立的充分而不必要的条件.故选A.7.(2022·重庆模拟)若p是q的必要条件,s是q的充分条件,那么下列推理一定正确的是( )A.p⇔sB.p⇔sC.p⇒sD.s⇒p【解题提示】用推出式表示p与q,s与q的关系,找出s与p的关系,然后写出其逆否命题.【解析】选C.由已知得q⇒p,s⇒q,则s⇒p.s⇒p等价于p⇒s.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若“a≤b,则ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是 .【解析】原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若ac2≤bc2,则a≤b”是假命题,则其否命题也是假命题,则正确的命题有2个.答案:29.(2022·偃师模拟)已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2或x≥4},则A∩B=∅的充要条件是 .【解析】A∩B=∅⇔⇔0≤a≤2.答案:0≤a≤210.(2022·银川模拟)已知“命题p:(x-m)2>3(x-m)”是“命题q:x2+3x-4<0”成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为 .【解析】p:x>m+3或x<m,q:-4<x<1,因为p是q成立的必要不充分条件.则{x|-4<x<1}{x|x>m+3,或x<m},所以m+3≤-4或m≥1,即m≤-7或m≥1,故m的取值范围为(-∞,-7]∪[1,+∞).答案:(-∞,-7]∪[1,+∞)(20分钟 40分)-6-\n1.(5分)(2022·宜昌模拟)下列关于命题的说法正确的是( )A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1,则x≠1”B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C.命题“a,b都是有理数”的否定是“a,b都不是有理数”D.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题【解析】选D.对于A,命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2≠1,则x≠1”,所以A错误;对于B,x=-1时,x2-5x-6=0;x2-5x-6=0时,x=-1或x=6,所以应是充分不必要条件;所以B错误;对于C,命题“a,b都是有理数”的否定是“a,b不都是有理数”,所以C错误;对于D,命题“若x=y,则sinx=siny”是真命题,所以它的逆否命题也是真命题,所以D正确.故选D.2.(5分)(2022·贵阳模拟)已知a,b,c是实数,则b2≠ac是a,b,c不成等比数列的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】从正、反两个方面推理时,可用与其等价的逆否命题的真假进行判断.【解析】选A.因为命题“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”的逆否命题为“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”,是真命题,所以b2≠ac是a,b,c不成等比数列的充分条件;因为“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”是假命题,所以“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”是假命题,即b2≠ac不是a,b,c不成等比数列的必要条件.故选A.【方法技巧】条件和结论都是否定形式的命题真假的判断方法条件和结论都是否定形式的命题,其真假从正面很难准确判断,故可以转化成判断与其等价的逆否命题的真假.【加固训练】已知x,y是实数,则x≠y是x2≠y2的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若x≠y,则x2≠y2⇔若x2=y2,则x=y,显然是假的;若x2≠y2,则x≠y⇔若x=y,则x2=y2,显然是真的.故x≠y是x2≠y2的必要不充分条件.3.(5分)设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .【解析】由Δ=16-4n≥0,得n≤4,又n∈N*,则n=1,2,3,4.方程x2-4x+n=0的根为x=-6-\n.当n=1,2时,方程没有整数根,当n=3时,方程有整数根1,3,当n=4时,方程有整数根2,综上知n=3或4.答案:3或44.(12分)已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.(1)写出否命题,判断其真假,并证明你的结论.(2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.【解析】(1)否命题:已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).该命题是真命题,证明如下:因为a+b<0,所以a<-b,b<-a.又因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.所以f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),因此f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),所以否命题为真命题.(2)逆否命题:已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0.真命题,可证明原命题为真来证明它.因为a+b≥0,所以a≥-b,b≥-a,因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),故原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.5.(13分)(能力挑战题)已知集合A={y|y=x2-x+1,x∈[,2]},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.【解析】y=x2-x+1=(x-)2+,因为x∈[,2],所以≤y≤2,所以A={y|≤y≤2}.由x+m2≥1,得x≥1-m2,所以B={x|x≥1-m2}.-6-\n因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A⊆B,所以1-m2≤,解得m≥或m≤-,故实数m的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞).-6-
