【高考领航】2022高考数学总复习1-2命题及其关系、充分条件与必要条件练习苏教版【A组】一、填空题1．(2022·高考湖南卷)命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是________．解析：根据原命题与其逆否命题的关系求解．由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tanα≠1，则α≠.答案：若tanα≠1，则α≠2．(2022·高考湖南卷)“x>1”是“|x|>1”的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”等填空)．解析：∵x>1⇒|x|>1，|x|>1⇒/x>1，∴“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件．答案：充分不必要条件3．(2022·高考湖北卷)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的________条件(用“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”等填空)．解析：由＝a＋b，可得a2＋b2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，即即故φ(a，b)＝0是a与b互补的充要条件．答案：充要4．(2022·高考陕西卷)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝______解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.6\n答案：3或45．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________.解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8垂直⇔1·m＋(m＋1)·2＝0⇔m＝－.答案：－6．已知p：x≤1，q：＜1，则綈p是q的________条件．(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选择恰当的一个填写)解析：p：x≤1，綈p：x＞1，q：＜1，即x＞1或x＜0.綈p⇒q但q⇒/綈p.故綈p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要7．设A＝，B＝{x||x－b|＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是________．解析：A＝{x|－1＜x＜1}，当a＝1时，B＝{x|b－1＜x＜b＋1}，若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则有－1≤b－1＜1或－1＜b＋1≤1，所以b∈(－2,2)．答案：(－2,2)二、解答题8．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明：(1)必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0，两式相减可得x0＝，将此式代入x＋2ax0＋b2＝0可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.(2)充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.将此式代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.故两方程有公共根x＝－(a＋c)．所以方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.9．(1)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；6\n(2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围．解：(1)当x>2或x<－1时，x2－x－2>0，由4x＋p<0得x<－，故－≤－1时，“x<－”⇒“x<－1”⇒“x2－x－2>0”．∴p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．(2)若“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件，则x2－x－2>0的解集是4x＋p<0的解集的子集，由题知不存在．故不存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件．【B组】一、填空题1．(2022·高考天津卷)设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的________条件．解析：因为{x|2x2＋x－1>0}＝，所以{x|2x2＋x－1>0}．答案：充分不必要2．(2022·高考上海卷)对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的________条件．解析：当m<0，n<0时，mn>0，但mx2＋ny2＝1没有意义，不是椭圆；反之，若mx2＋ny2＝1表示椭圆，则m>0，n>0，即mn>0.答案：必要不充分3．(2022·南京二模)“a＝3”是“直线ax＋3y＝0与直线2x＋2y＝3平行”的________条件．解析：本题考查了充分、必要条件的判断及两直线平行的充要条件．解决本题的关键是牢记两直线平行的充要条件．直线ax＋3y＝0与直线2x＋2y＝3平行的充要条件是＝≠，解得a＝3.答案：充要条件4．(2022·陕西五校第三次联考)已知p：≤1，q：(x－a)(x－a－1)≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：令A＝{x|≤1}，得A＝，令B＝{x|(x－a)(x－a－1)≤0}，得B＝{x|a≤x≤a＋1}，若p是q的充分不必要条件，则AB，需或⇒6\n0≤a≤.答案：5．(2022·江苏八所重点高中联考)有下面四个判断：①命题“设a、b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；③命题“∀a、b∈R，a2＋b2≥2(a－b－1)”的否定是“∃a、b∈R，a2＋b2≤2(a－b－1)”；④若函数f(x)＝ln的图象关于原点对称，则a＝3.其中正确的有________个．解析：对于①：此命题的逆否命题为“设a、b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，①错误；“p或q”为真，则p、q至少有一个为真命题，②错误；“∀a、b∈R，a2＋b2≥2(a－b－1)”的否定是“∃a、b∈R，a2＋b2<2(a－b－1)”，③错误；对于④：若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数，则f(0)＝ln(a＋2)＝0，解得a＝－1，④错误．答案：06．(2022·扬州二模)给出下列命题：p：函数f(x)＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；q：∃x∈R，使得log2(x＋1)<0；r：已知向量a＝(λ，1)，b＝(－1，λ2)，c＝(－1,1)，则(a＋b)∥c的充要条件是λ＝－1.其中所有的真命题是________．解析：本题考查简易逻辑中的相关知识．对于p：f(x)＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos2x，最小正周期T＝π，故p为真命题；对于q：因为log2(x＋1)的范围是R，所以∃x∈R，使得log2(x＋1)<0，故q为真命题；对于r：由(a＋b)∥c得λ－1＋λ2＋1＝0，∴λ＝0或λ＝－1，故r为假命题．答案：p、q7．(2022·郑州外国语学校)下列命题中，①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc；②数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝An2＋Bn是数列{an}为等差数列的必要不充分条件；③A＝B是sinA＝sinB的充分不必要条件；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分别为P、Q，则＝＝是P＝Q6\n的充分必要条件．其中正确的命题是________．解析：△ABC中，由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，得(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，则a＝b＝c；若△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，故ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，故①正确．Sn＝An2＋Bn是数列{an}为等差数列的充要条件，故②错．显然③正确．对于④，由于两不等式的系数不确定，由＝＝不能推出P＝Q；反之P＝Q时，若P＝Q＝∅，则不一定有＝＝，故＝＝是P＝Q的既不充分也不必要条件．答案：①③二、解答题8．(2022·徐州模拟)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．解：由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.∴綈p：x<1或x>5.q：m－1≤x≤m＋1，∴綈q：x<m－1或x>m＋1.又∵綈p是綈q的充分而不必要条件，∴∴2≤m≤4.9．(2022·苏州调研)已知全集U＝R，非空集合A＝，B＝.(1)当a＝时，求(∁UB)∩A；(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝时，A＝＝，B＝＝，∴∁UB＝.∴(∁UB)∩A＝.(2)∵a2＋2>a，∴B＝{x|a<x<a2＋2}．①当3a＋1>2，即a>时，A＝{x|2<x<3a＋1}．∵p是q的充分条件，∴A⊆B.∴，即<a≤.②当3a＋1＝2，即a＝时，A＝∅，不符合题意；6\n③当3a＋1<2，即a<时，A＝{x|3a＋1<x<2}，由A⊆B得，∴－≤a<.综上所述：a∈∪6
