9-6空间向量及其运算(理)基础巩固强化1.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是( )A．1 B. C. D.[答案] D[解析] ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，∵两向量垂直，∴3(k－1)＋2k－2×2＝0，∴k＝.2．a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则a＋b与a－b的夹角为( )A．0°B．30°C．60°D．90°[答案] D[解析] |a|＝，|b|＝，(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．3．对空间任意一点O，若＝＋＋，则A、B、C、P四点( )A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．与O点的位置有关[答案] B[解析] ∵＋＋＝1，∴P、A、B、C共面．4．底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，N为BB1的靠近B的三等分点，若＝a，＝b，＝c，则向量等于( )11\nA．－a＋b＋cB.a＋b－cC.a－b－cD．－a－b＋c[答案] C[解析] ＝＋＝＋＝(－)－＝a－b－c.5．已知{a，b，c}是空间一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p、q构成空间另一基底的是( )A．a B．b C．c D．无法确定[答案] C[解析] ∵a、b、c不共面，∴p、q、c不共面，若存在x、y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b，∴a、b、c共面，矛盾．6．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角余弦值为，则λ等于( )11\nA．2B．－2C．－2或D．2或－[答案] C[解析] ∵cos〈a，b〉＝＝＝.解得λ＝－2或.7．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________．[答案] [解析] b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|＝＝，∴当t＝时，|b－a|取得最小值为.8．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于________．[答案] 5[解析] 设＝λ，D(x，y，z)，则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0,4，－3)，∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ.∴＝(－4,4λ＋5，－3λ)，又＝(0,4，－3)，⊥，∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－，∴＝，∴||＝＝5.9.11\n已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PMMC＝21，N为PD的中点．若＝x＋y＋z，则x＝________，y＝________，z＝________.[答案] － － [解析] ＝＋＝＋＝(＋)＋(－)＝(－－＋)＋(－)＝－－＋，∴x＝－，y＝－，z＝.10．已知向量b与向量a＝(2，－1,2)共线，且满足a·b＝18，(ka＋b)⊥(ka－b)，求向量b及k的值．[解析] ∵a、b共线，∴存在实数λ，使b＝λa，∴a·b＝λa2＝λ|a|2＝λ(22＋1＋22)＝9λ＝18，∴λ＝2.∴b＝(4，－2,4)．∵(ka＋b)⊥(ka－b)，∴(ka＋b)·(ka－b)＝0.∴(ka＋2a)·(ka－2a)＝0.∴(k2－4)|a|2＝0.∴k＝±2.能力拓展提升11.(2011·郑州一中月考)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为( )11\nA．30°B．60°C．120°D．150°[答案] C[解析] a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，〈a，c〉＝120°.12．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值等于( )A.B.C.D.[答案] D[解析] 解法1：＝＋＝＋，＝＋＝－＋，·＝－·－·＋||2＋·＝，||2＝||2＋||2＋·＝，||2＝||2＋|AA1|2－·＝，∴cos〈，〉＝＝，故选D.11\n解法2：如图建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，M(1，，1)，N(1,1，)，∴＝(0，，1)，＝(1,0，)，∴cos〈，〉＝＝＝.∴AM与CN所成角的余弦值为.13．已知空间中三点A(1,0,0)，B(2,1，－1)，C(0，－1,2)，则点C到直线AB的距离为________．[答案] [解析] ＝(1,1，－1)，＝(－1，－1,2)，cos〈，〉＝＝＝－，∴sin〈，〉＝，∴点C到直线AB的距离d＝||·sin〈，〉＝.14．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC111\n的中点，则异面直线AB1与A1M所成角为________．[答案] [解析] 由条件知AC、BC、CC1两两垂直，以C为原点，CB，CA，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，A(0，，0)，B1(1,0，)，M(0,0，)，A1(0，，)，∴＝(1，－，)，＝(0，－，－)，cos〈，〉＝＝0，∴〈，〉＝，即直线AB1与A1M所成角为.15．四棱锥P－ABCD中，AB、AD、AP两两垂直，AB＝1，AD＝2，AP＝3，F为PC的中点，E为PD上，且PD＝3PE，用11\n(1)、、表示；(2)求的模．[解析] (1)＝－＝(＋＋)－[＋(－)]＝－＋＋.(2)由条件知，||＝1，||＝2，||＝3，∴||2＝(－＋＋)2＝||2＋||2＋||2＝，∴||＝.16．如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.(1)写出点E、F的坐标；11\n(2)求证：A1F⊥C1E；(3)若A1、E、F、C1四点共面，求证：＝＋.[解析] (1)解：E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．(2)证明：∵A1(a,0，a)、C1(0，a，a)，∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴⊥，∴A1F⊥C1E.(3)证明：∵A1、E、F、C1四点共面，∴、、共面．选与为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，∴解得λ1＝，λ2＝1.于是＝＋.1．(2011·广东揭阳一模)已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( )A．－2B．－C.D．2[答案] D[解析] a－λb＝(λ－2,1－2λ，3－λ)，由a⊥(a－λb)，得－2(λ－2)＋1－2λ＋9－3λ＝0，解得λ＝2.11\n2．三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，已知CA＝CB＝CC1，AC⊥BC，E、F分别是A1C1、B1C1的中点．则AE与CF所成角的余弦值等于( )A.B.C.D.[答案] A[解析] 以C为原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AC＝1，则A(1,0,0)，B1(0,1,1)，C(0,0,0)，C1(0,0,1)，A1(1,0,1)，∵E、F分别为A1C1、B1C1的中点，∴E(，0,1)，F(0，，1)，∴＝(－，0,1)，＝(0，，1)，∴cos〈，〉＝＝＝，故选A.3．(2012·中山市模拟)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )11\nA．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋c[答案] A[解析] ＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋)＝c－a＋b，故选A.11
