第2讲 参数方程分层A级 基础达标演练(时间：40分钟 满分：80分)1．(2022·深圳五校模拟)求直线(t为参数)上与点A(－2,3)的距离等于的点的坐标．解 由题意知(－t)2＋(t)2＝()2，所以t2＝，t＝±，代入(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．2．(2022·东莞五校联考)若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯一的公共点，求实数k值．解 曲线C化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝＝1⇒k＝±.3．(2022·广东高考全真模拟卷一)求直线3x＋4y－7＝0截曲线(α为参数)的弦长．解 曲线可化为x2＋(y－1)2＝1，圆心到直线的距离d＝＝，则弦长l＝2＝.4．(2022·揭阳模拟)已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，(1)若l1∥l2，求k的值；(2)若l1⊥l2，求k的值．解 将l1、l2的方程化为直角坐标方程得，l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0.(1)由l1∥l2，得＝≠⇒k＝4，(2)由l1⊥l2，得2k＋2＝0⇒k＝－1.5．(2022·湛江调研)求参数方程(θ为参数)表示的图形上的点到直线y＝x的最短距离．解 参数方程化为普通方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝9，圆心坐标为(3，－3)，半径r＝3，则圆心到直线y＝x的距离d＝＝3，则圆上点到直线y＝x的最短距离为d－r＝3－3＝3(－1)．6．(2022·陕西)(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，求|AB|的最小值．4\n解 消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C2表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1－1＝1.7．已知在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与曲线C：(θ是参数)有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．解 曲线C的参数方程：(θ是参数)化为普通方程：＋y2＝1，故曲线C是一个椭圆．由题意，利用点斜式可得直线l的方程为y＝kx＋，将其代入椭圆的方程，得＋(kx＋)2＝1，整理，得x2＋2kx＋1＝0，因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，所以Δ＝8k2－4×＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞.即k的取值范围为∪.8．如果曲线C：(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，求实数a的取值范围．解 将曲线的参数方程转化为普通方程，即(x－a)2＋(y－a)2＝4，由题意可知，以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C总相交，根据两圆相交的充要条件，得0＜＜4，∴0＜a2＜8，解得0＜a＜2或－2＜a＜0.分层B级 创新能力提升1．求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆＋y2＝1所得的弦长．解 由条件可知直线的参数方程是(t为参数)，代入椭圆方程可得，＋2＝1，即t2＋3t＋1＝0.设方程的两实根分别为t1、t2，则由二次方程的根与系数的关系可得则直线截椭圆的弦长是|t1－t2|＝＝＝.2．(2022·辽宁)已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程．4\n解 (1)由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为.(2)M点的直角坐标为，A(1,0)．故直线AM的参数方程为(t为参数)．3．(2022·江苏)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程．解 由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.故所求直线的斜率为，因此其方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.4．(2022·浙江)“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块已知直线l：(t为参数，α为参数，α为l的倾斜角，且0＜α＜π)与曲线C：(θ为参数)相交于A，B两点，点F的坐标为(1,0)．(1)求△ABF的周长；(2)若点E(－1,0)恰为线段AB的三等分点，求△ABF的面积．解 (1)如图，曲线C的方程为＋y2＝1，得F(1,0)，E(－1,0)为椭圆C的两个焦点．又A，B在椭圆上，知|AE|＋|AF|＝|BE|＋|BF|＝2a＝2，又直线AB过点E，所以，△ABF的周长为4.(2)将代入＋y2＝1，得(1＋sin2α)t2－2cosα·t－1＝0，设点A，B对应的参数为tA，tB，其中Δ＝4cos2α＋4(1＋sin2α)＝8＞0，且则|AB|＝|tA－tB|＝.不妨设|AE|∶|EB|＝2∶1，则tA＝－2tB，4\n得tA·tB＝－2(tA＋tB)2，所以＝－2·，即8cos2α＝1＋sin2α，得sin2α＝.则S△ABF＝|AB|·|EF|sinα＝··2sinα＝.4
