解析几何第1讲 直线的方程分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，则a，b满足( )．A．a＋b＝1B．a－b＝1C．a＋b＝0D．a－b＝0解析 由题意知tanα＝－1，即k＝tanα＝－1，又k＝－，所以a－b＝0.答案 D2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )．A.B．－C．－D.解析 依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－，选B.答案 B3．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变化时，所有直线都过定点( )．A.B.C.D.解析 原方程可化为(2x＋1)－m(y＋3)＝0，令解得x＝－，y＝－3，故所有直线都过定点.答案 D4．(2022·佛山调研)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )．A．ab>0，bc<0B．ab>0，bc>05\nC．ab<0，bc>0D．ab<0，bc<0解析 由题意知：令x＝0，y＝－>0；令y＝0，x＝－>0.即bc<0，ac<0.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知直线l的倾斜角α满足3sinα＝cosα，且它在x轴上的截距为2，则直线l的方程是________．解析 由3sinα＝cosα，得tanα＝，∴直线l的斜率为.又直线l在x轴上的截距为2，∴直线l与x轴的交点为(2,0)，∴直线l的方程为y－0＝(x－2)，即x－3y－2＝0.答案 x－3y－2＝06．已知直线l经过A(2,1)，B(1，m2)两点(m∈R)，那么直线l的倾斜角的取值范围是________．解析 直线l的斜率k＝＝1－m2，因为m∈R，所以k∈(－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是∪.答案 ∪三、解答题(共25分)7．(12分)设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值：(1)直线l的斜率为1；(2)直线l在x轴上的截距为－3.解 (1)因为直线l的斜率存在，所以m≠0，于是直线l的方程可化为y＝－x＋.由题意得－＝1，解得m＝－1.(2)法一 令y＝0，得x＝2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.法二 直线l的方程可化为x＝－my＋2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.5\n8．(13分)(2022·临沂月考)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等．∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴或∴a≤－1.综上可知a的取值范围是(－∞，－1]．分层B级 创新能力提升1．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”；条件q：“直线l的斜率为－2”，则p是q的( )． A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 主要考虑直线l在x、y轴上的截距都为0时，满足条件p，但不能推出q.答案 B2．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )．A.B.C.D.解析 如图，直线l：y＝kx－，过定点P(0，－)，又A(3,0)，∴kPA＝，则直线PA的倾斜角为，满足条件的直线l的倾斜角的范围是.5\n答案 B3．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析 设所求直线的方程为＋＝1，∵A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴|a|·|b|＝1.②由①②可得(1)或(2)由(1)解得或方程组(2)无解．故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．答案 x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝04．(2022·盐城检测)已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．解析 直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值.答案 5．(2022·青岛模拟)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．解 (1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．(2)①当m＝－1时，α＝；5\n②当m≠－1时，m＋1∈∪(0，]，∴k＝∈(－∞，－]∪，∴α∈∪.综合①②知，直线AB的倾斜角α∈.6．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出；若不存在，请说明理由．解 存在．理由如下：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A，B(0,1－2k)，△AOB的面积S＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立，故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.5
