第5讲 椭 圆分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝( )．A.B.C.D．4解析 a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(－，0)，设P(－，m)(m>0)，则＋m2＝1，解得m＝，所以|PF1|＝，根据椭圆定义：|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2×2－＝.答案 A2．(2022·东北四校模拟)已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )．A.B．(1，＋∞)C．(1,2)D.解析 由题意可得，2k－1>2－k>0，即解得1<k<2，故选C.答案 C3．(2022·江西)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )．A.B.C.D.－2解析 因为A，B为左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝7\n2c，|F1B|＝a＋c.又因为|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2.所以离心率e＝＝，故选B.答案 B4．(2022·嘉兴测试)已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是( )．A.B.C.∪D.∪解析 椭圆标准方程为x2＋＝1.当m>1时，e2＝1－∈，解得m>；当0<m<1时，e2＝＝1－m∈，解得0<m<，故实数m的取值范围是∪.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·安徽江南十校联考)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．解析 |OM|＝3，|PF2|＝6，又|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝4.答案 46．(2022·青岛模拟)设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为________．解析 抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴m2－n2＝4①，e＝＝，∴m＝4，代入①得，n2＝12，∴椭圆方程为＋＝1.7\n答案 ＋＝1三、解答题(共25分)7．(12分)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2.当a＝2b时，求椭圆方程．解 ∵a＝2b，a2＝b2＋c2，∴c2＝3b2，又∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2，由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b，(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，从而得b2＝1，a2＝4，∴椭圆方程为＋y2＝1.8．(13分)(2022·广东花都模拟)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，·＝0，若椭圆的离心率等于.(1)求直线AO的方程(O为坐标原点)；(2)直线AO交椭圆于点B，若三角形ABF2的面积等于4，求椭圆的方程．解 (1)由·＝0，知AF2⊥F1F2，∵椭圆的离心率等于，∴c＝a，可得b2＝a2.设椭圆方程为x2＋2y2＝a2.设A(x0，y0)，由·＝0，知x0＝c，∴A(c，y0)，代入椭圆方程可得y0＝a，∴A，故直线AO的斜率k＝，直线AO的方程为y＝x.(2)连接AF1，BF1，AF2，BF2，由椭圆的对称性可知，S△ABF2＝S△ABF1＝S△AF1F2，∴·2c·a＝4.又由c＝a，解得a2＝16，b2＝16－8＝8.故椭圆方程为＋＝1.分层B级 创新能力提升1．(2022·温州测试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的中心为O，左焦点为F，A是椭圆上的一点．·＝0且·＝2，则该椭圆的离心率是( )．7\n A.B.C．3－D．3＋解析 因为·＝0，且·＝·(－)，所以·＝2，所以||＝||＝c，所以||＝c，且∠AOF＝45°，设椭圆的右焦点是F′，在△AOF′中，由余弦定理可得AF′＝c，由椭圆定义可得AF＋AF′＝c＋c＝2a，即(1＋)c＝2a，故离心率e＝＝＝.答案 A2.(2022·厦门质检)已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆2＋y2＝相切于点Q，且＝2，则椭圆C的离心率等于( )．A.B.C.D.解析 记椭圆的左焦点为F′，圆2＋y2＝的圆心为E，连接PF′，QE.∵|EF|＝|OF|－|OE|＝c－＝，＝2，∴＝＝，∴PF′∥QE，∴＝，且PF′⊥PF.7\n又∵|QE|＝(圆的半径长)，∴|PF′|＝b.据椭圆的定义知：|PF′|＋|PF|＝2a，∴|PF|＝2a－b.∵PF′⊥PF，∴|PF′|2＋|PF|2＝|F′F|2，∴b2＋(2a－b)2＝(2c)2，∴2(a2－c2)＋b2＝2ab，∴3b2＝2ab，∴b＝，c＝＝a，＝，∴椭圆的离心率为.答案 A3．(2022·佛山模拟)在等差数列{an}中，a2＋a3＝11，a2＋a3＋a4＝21，则椭圆C：＋＝1的离心率为________．解析 由题意，得a4＝10，设公差为d，则a3＋a2＝(10－d)＋(10－2d)＝20－3d＝11，∴d＝3，∴a5＝a4＋d＝13，a6＝a4＋2d＝16>a5，∴e＝＝.答案 4.如图，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为________．解析 设标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题可知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a，∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b＝(2b－b)b＝2－，∴b2＝2，∴b＝，∴a＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.答案 ＋＝15．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；7\n(2)如果＝2，求椭圆C的方程．解 (1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2及l的倾斜角为60°，知y1<0，y2>0，直线l的方程为y＝(x－2)．由消去x，整理得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.解得y1＝，y2＝.因为＝2，所以－y1＝2y2，即＝2·，解得a＝3.而a2－b2＝4，所以b2＝5.故椭圆C的方程为＋＝1.6．(2022·南京二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．(1)解 由题意知，b＝＝.因为离心率e＝＝，所以＝＝.所以a＝2.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明 由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为y＝x＋1，①直线QN的方程为y＝x＋2.②法一 联立①②解得x＝，y＝，7\n即T.由＋＝1，可得x＝8－4y.因为2＋2＝＝＝＝＝1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．法二 设T(x，y)，联立①②解得x0＝，y0＝.因为＋＝1，所以2＋2＝1.整理得＋＝(2y－3)2，所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1.所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.7
