第7讲 函数的图象分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·大连模拟)函数y＝5x与函数y＝－的图象关于( )．A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称解析 因为y＝－＝－5－x，所以关于原点对称．答案 C2．(2022·兰州模拟)函数y＝的图象大致是( )．解析 由y＝f(－x)＝＝－f(x)知，函数为奇函数，排除A，B；当x＝1时，y＝0，排除C，故选D.答案 D3．(2022·济南模拟)若loga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x＋1)的图象大致是( )．解析 ∵loga2<0，∴0<a<1，由f(x)＝loga(x6\n＋1)单调性可知A，D错误，再由定义域知B选项正确．答案 B4．(2022·石家庄名校联考)设函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )．解析 根据已知函数图象可知，函数f(x)是偶函数，函数g(x)是奇函数，则函数f(x)·g(x)是奇函数，且函数f(x)·g(x)的定义域是{x|x≠0}，结合选项可知只有选项A中的图象是可能的．答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．为了得到函数f(x)＝log2x的图象，只需将函数g(x)＝log2的图象________．解析 g(x)＝log2＝log2x－3＝f(x)－3，因此只需将函数g(x)的图象向上平移3个单位即可得到函数f(x)＝log2x的图象．答案 向上平移3个单位6．函数y＝(x－1)3＋1的图象的对称中心是________．解析 y＝x3的图象的对称中心是(0,0)，将y＝x3的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，即得y＝(x－1)3＋1的图象，所以对称中心为(1,1)．答案 (1,1)6\n三、解答题(共25分)7．(12分)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，将y＝f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求：(1)y＝g(x)的解析式及其定义域；(2)函数F(x)＝f(x)－g(x)的最大值．解 (1)f(x)＝log2(x＋1)f(x＋1＋1)＝log2(x＋2)g(x)＝2log2(x＋2)．∴g(x)＝2log2(x＋2)，定义域为(－2，＋∞)．(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝log2(x＋1)－2log2(x＋2)＝log2(x>－1)．令μ＝＝＝，又因为(x＋1)＋≥2，当且仅当x＝0时，等号成立，故μ≤.所以F(x)的最大值为－2.8．(13分)(2022·韶关调研)已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．解 (1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，即2－y＝－x－＋2，∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，g′(x)＝1－.∵g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，∴a的取值范围是[3，＋∞)．分层B级 创新能力提升1．(2022·江西六校联考)函数f(x)＝tanx＋，x∈的大致图象为( )． 6\n解析 当0<x<时，tanx>0，此时f(x)≥2，排除B，D；－<x<0时，tanx<0，∴f(x)≤－2，排除C，故选A.答案 A2．(2022·绍兴模拟)函数y＝esinx(－π≤x≤π)的大致图象为( )．解析 因－π≤x≤π，由y′＝esinxcosx>0，得－<x<.则函数y＝esinx在区间上为增函数，排除A、B、C，故选D.答案 D3.函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________．解析 当x∈(0,1)时，cosx>0，f(x)>0；当x∈时，cosx>0，f(x)<0；当x∈时，cosx<0，f(x)<0.6\n故不等式<0的解集为.答案 4．(2022·唐山模拟)形如y＝(a>0，b>0)的函数，因其图象类似于汉字中的“”字，故我们把它称为“函数”．若当a＝1，b＝1时的“函数”与函数y＝lg|x|图象的交点个数为n，则n＝________.解析 由题易知，当a＝1，b＝1时，y＝＝在同一坐标系中画出“函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．答案 45．(2022·杭州二中月考)已知函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2＋x)＝f(2－x)．(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；(2)若f(x)是偶函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，求x∈[－4,0]时的f(x)的表达式．(1)证明 设P(x0，y0)是函数y＝f(x)图象上任一点，则y0＝f(x0)，点P关于直线x＝2的对称点为P′(4－x0，y0)．因为f(4－x0)＝f[2＋(2－x0)]＝f[2－(2－x0)]＝f(x0)＝y0，所以P′也在y＝f(x)的图象上，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．(2)解 当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，所以f(－x)＝－2x－1.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，x∈[－2,0]．当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0,2]，所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7，而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝2x＋7，x∈[－4，－2]．所以f(x)＝6．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．6\n思维启迪：利用函数的图象可直观得到函数的单调性，方程解的问题可转化为函数图象交点的问题．解 f(x)＝作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，+∞)；函数的减区间为(-∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y=f(x)和y=m的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图知0<m<1，∴M={m|0<m<1}．探究提高 (1)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质．(2)利用函数图象可以解决一些形如f(x)=g(x)的方程解的个数问题.6
