函数与导数第1讲 函数及其相关概念分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是( )．A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)解析 要使函数f(x)有意义，则解得x>－1且x≠1.故函数f(x)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．答案 C2．(2022·江西)下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为( )．A．y＝B．y＝C．y＝xexD．y＝解析 函数y＝的定义域为{x|x≠0，x∈R}与函数y＝的定义域相同，故选D.答案 D3．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )．A．1个B．2个C．3个D．4个解析 由x2＋1＝1，得x＝0.由x2＋1＝3，得x＝±，所以函数的定义域可以是{0，}，{0，－}，{0，，－}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．答案 C4．(2022·安徽)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )．A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x解析 因为f(x)＝kx与f(x)＝k|x|均满足f(2x)＝2f(x)，所以A，B，D满足条件；对于C，若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1≠2f(x)＝2x＋2.4\n答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f(x)＝lg的定义域为________．解析 要使函数f(x)有意义，当且仅当1－x2>0，即x∈(－1,1)．答案 (－1,1)6．(2022·皖南八校联考)已知f(x)＝则f＝________.解析 f＝2，∴f＝f＝log22＝.答案 三、解答题(共25分)7．(12分)(1)已知f＝，求f(x)；(2)已知3f(x)＋5f＝＋1，求函数f(x)的解析式．解 (1)设1＋＝t，则x＝，且t≠1，又∵x≠±1，∴t≠0，且t≠2，即t≠0,1,2.又f＝，∴f(t)＝＝，∴f(x)＝(x≠0,1,2)．(2)以替换原等式中的x，则3f＋5f(x)＝2x＋1.故即两式相减整理，得f(x)＝x－＋(x≠0)．8．(13分)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)在区间[－1,1]上，函数y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋m的上方，试确定实数m的取值范围．解 (1)由f(0)＝1，可设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，故f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b，由题意，得解得故f(x)＝x2－x＋1.4\n(2)由题意，得x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1>m，对x∈[－1,1]恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1，则问题可转化为g(x)min>m，又因为g(x)在[－1,1]上递减，所以g(x)min＝g(1)＝－1，故m<－1.分层B级 创新能力提升1．(2022·山西四校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(3)的值为( )．A．1B．2C．－2D．－3解析 f(3)＝f(2)－f(1)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)＝－log28＝－3.答案 D2．(2022·江西南昌六校联考)具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y＝x－；②y＝x＋；③y＝其中满足“倒负”变换的函数是( )．A．①②B．①③C．②③D．①解析 对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f＝＋＝f(x)≠－f(x)，不满足题意；对于③，f＝即f(x)＝故f＝－f(x)，满足题意．答案 B3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，x123f(x)131x123g(x)321则f[g(1)]的值为________，满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．解析 ∵g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1，由表格可以发现g(2)＝2，f(2)＝3，∴f(g(2))＝3，g(f(2))＝1.4\n答案 1 24．函数y＝－的值域为________．解析 函数定义域为[1，＋∞)，∵y＝－＝，当x≥1时是减函数，∴0<y＝≤＝.故函数的值域为(0，]．答案 (0，]5．若函数f(x)＝x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，求a，b的值．解 ∵f(x)＝(x－1)2＋a－，∴其对称轴为x＝1，即函数f(x)在[1，b]上单调递增．∴f(x)min＝f(1)＝a－＝1，①f(x)max＝f(b)＝b2－b＋a＝b，②又b>1，由①②解得∴a，b的值分别为，3.6．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x2－2)的值域．解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝0，∴c＝0，即f(x)＝ax2＋bx.又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.∴(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1.∴解得∴f(x)＝x2＋x.(2)由(1)知y＝f(x2－2)＝(x2－2)2＋(x2－2)＝(x4－3x2＋2)＝2－，当x2＝时，y取最小值－.∴函数y＝f(x2－2)的值域为.4
