第2讲 用样本估计总体分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·山东)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据．则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )．A．众数B．平均数C．中位数D．标准差解析 对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．答案 D2.(2022·陕西)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )．A．46,45,56 B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,53解析 样本共30个，中位数为＝46；显然样本数据出现次数最多的为45，故众数为45；极差为68－12＝56，故选A.答案 A3．(2022·江西)小波一星期的总开支分布如图(a)所示，一星期的食品开支如图(b)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )．8\nA．30%B．10%C．3%D．不能确定解析 由题图(b)可知小波一星期的食品开支共计300元，其中鸡蛋开支30元．又由题图(a)知，一周的食品开支占总开支的30%，则可知一周总开支为1000元，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为×100%＝3%.答案 C4．(2022·安徽)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )．A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析 由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)8\n5．(2022·茂名二模)如图是某赛季CBA广东东莞银行队甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是________．解析 中位数是将数据按由大到小或由小到大的顺序排列起来，最中间的一个数或中间两个数的平均数．甲比赛得分的中位数为34，乙比赛得分的中位数为24，故其和为58.答案 586．某学校为了解学生数学课程的学习情况，在1000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图可估计这1000名学生在该次数学考试中成绩不低于60分的学生人数是________．解析 低于60分学生所占频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，故低于60分的学生人数为1000×0.2＝200，所以不低于60分的学生人数为1000－200＝800.答案 800三、解答题(共25分)7．(12分)(2022·济南模拟)从某校高三年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高，据测量，被测学生的身高全部在155cm到195cm之间．将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，下图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组的人数相同，第七组与第六组的人数差恰好为第八组与第七组的人数差．8\n求下列频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图．频率分布表：分组频数频率频率/组距…………[180,185)xyz[185,190)mnp…………解 由频率分布直方图可知前五组的频率和是(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，第八组的频率是0.008×5＝0.04，所以第六、七组的频率和是1－0.82－0.04＝0.14，所以第八组的人数为50×0.04＝2，第六、七组的总人数为50×0.14＝7.由已知得x＋m＝7，m－x＝2－m，解得x＝4，m＝3，所以y＝0.08，n＝0.06，z＝0.016，p＝0.012.补充完成频率分布直方图如图所示．8．(13分)某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B8\n进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)作出数据的茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．解 (1)如下图(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．(3)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高；②品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．分层B级 创新能力提升1.(2022·陕西)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则( )．A.甲<乙，m甲>m乙B.甲<乙，m甲<m乙C.甲>乙，m甲>m乙D.甲>乙，m甲<m乙解析 甲＝(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝，乙＝(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝.8\n∴甲<乙．又∵m甲＝20，m乙＝29，∴m甲<m乙．答案 B2．(2022·哈尔滨模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )．A．13,12B．13,13C．12,13D．13,14解析 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a3＝8，a1a7＝(a3)2＝64，(8－2d)(8＋4d)＝64，(4－d)(2＋d)＝8,2d－d2＝0，又d≠0，故d＝2，故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样本的平均数为＝13，中位数为＝13，故选B.答案 B3．(2022·北京西城一模)某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_______________________________________________________________．解析 成绩在[16,18]的学生的人数所占比例为＝，所以成绩在[16,18]的学生人数为120×＝54.答案 544．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a，b的取值分别是________，________.解析 ∵中位数为10.5，8\n∴＝10.5，a＋b＝21，∵＝＝10，∴s2＝[(10－2)2＋(10－3)2×2＋(10－7)2＋(10－a)2＋(10－b)2＋(10－12)2＋(10－13.7)2＋(10－18.3)2＋(10－20)2]．令y＝(10－a)2＋(10－b)2＝2a2－42a＋221＝22＋，当a＝10.5时，y取最小值，方差s2也取最小值．∴a＝10.5，b＝10.5.答案 10.5 10.55．汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2022年开始，对CO2排放量超过130g/km的MI型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：甲80110120140150乙100120xy160经测算发现，乙类品牌车CO2排放量的均值为乙＝120g/km.(1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，求x的取值范围．解 (1)甲类品牌汽车的CO2排放量的平均值甲＝＝120(g/km)，甲类品牌汽车的CO2排放量的方差s＝＝600.(2)由题意知乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值乙＝＝120(g/km)，得x＋y＝220，故y＝220－x，所以乙类品牌汽车的CO2排放量的方差s＝，因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，所以s<s，解得90<x<130.8\n6.已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．解 (1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为k＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因为10名职工的平均体重为＝(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，所以样本方差为：s2＝(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A，它包括的事件有(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)共4个．故所求概率为P(A)＝＝.8
