第4讲 二次函数与幂函数分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为( )．A．f(x)＝－x2－x－1B．f(x)＝－x2＋x－1C．f(x)＝x2－x－1D．f(x)＝x2－x＋1解析 设二次函数解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，根据题意得则解得∴f(x)＝x2－x＋1.故选D.答案 D2．(2022·山东实验中学模拟)如图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )．A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1解析 由图象①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R，当x>0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.答案 B3．(2022·青岛模拟)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则( )．A．y3>y1>y2B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y1>y2>y3解析 ∵y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝21.5，∴y1>y3>y2.答案 C4．(2022·哈尔滨模拟)幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x4\n)，则m可能等于( )．A．0B．1C．2D．3解析 由f(－x)＝f(x)，知函数f(x)为偶函数，排除A，C.但当m＝3时，f(x)＝x4在(0，＋∞)上为增函数，排除D.故选B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为________．答案 {1,3}6．(2022·北京西城二模)已知函数f(x)＝x2＋bx＋1是R上的偶函数，则实数b＝________，不等式f(x－1)<x的解集为________．解析 因为f(x)＝x2＋bx＋1是R上的偶函数，所以b＝0，则f(x)＝x2＋1，解不等式(x－1)2＋1<x，即x2－3x＋2<0，得1<x<2.答案 0 {x|1<x<2}三、解答题(共25分)7．(12分)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．思维启迪：对于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．解 (1)由f(0)＝1得，c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，∴∴因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．探究提高 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．8．(13分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－4\nf(x2)|≤4，求实数a的取值范围．解 (1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)，∴f(x)在[1，a]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a]∴即解得a＝2.(2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2.又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2.∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3，又a≥2，∴2≤a≤3.分层B级 创新能力提升1．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α，β是方程f(x)＝0的两根(α<β)，则实数a，b，α，β的大小关系是( )． A．α<a<b<βB．a<α<β<bC．a<α<b<βD．α<a<β<b解析 由于f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)的图象是开口向上的抛物线，因为f(a)＝f(b)＝－2<0，f(α)＝f(β)＝0，可得a∈(α，β)，b∈(α，β)，所以α<a<b<β.答案 A2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，a为正整数，c≥1，a＋b＋c≥1，方程ax2＋bx＋c＝0有两个小于1的不等正根，则a的最小值是( )．A．3B．4C．5D．6解析 由题意得f(0)＝c≥1，f(1)＝a＋b＋c≥1.当a越大，y＝f(x)的开口越小，当a越小，y＝f(x)的开口越大，而y＝f(x)的开口最大时，y＝f(x)过(0,1)，(1,1)，则c＝1，a＋b＋c＝1.a＋b＝0，a＝－b，－＝，又b2－4ac>0，a(a－4)>0，a>4，由于a为正整数，即a的最小值为5.答案 C3．(2022·淮南调研)已知a是正实数，函数f(x)＝ax2＋2ax＋1，若f(m)<0，试比较大小：f(m＋2)________1.(用“<”或“＝”或“>”连接)解析 根据已知条件画出f(x)图象如图所示．因为对称轴方程为x＝－1，所以(0,0)关于x＝－1的对称点为(－2,0)．因f(m)<0，所以应有－2<m<0，m＋2>0.因f(x)在(－1，＋∞)上递增，4\n所以f(m＋2)>f(0)＝1.答案 >4．(2022·衡阳联考)设f(x)＝|2－x2|，若0<a<b，满足f(a)＝f(b)，则ab的取值范围是________．解析 ∵0<a<b，f(a)＝f(b)，∴2－a2＝b2－2，即a2＋b2＝4，又a2＋b2>2ab，∴0<ab<2.答案 (0,2)5．已知关于x的二次函数f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t.(1)求证：对于任意t∈R，方程f(x)＝1必有实数根；(2)若<t<，求证：方程f(x)＝0在区间(－1,0)及上各有一个实根．证明 (1)由于f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t，∴f(x)＝1⇔(x＋2t)(x－1)＝0，(*)∴x＝1是方程(*)的根，即f(1)＝1.因此x＝1是f(x)＝1的实根，即f(x)＝1必有实根．(2)当<t<时，f(－1)＝3－4t>0.f(0)＝1－2t＝2<0.f＝＋(2t－1)＋1－2t＝－t>0.又函数f(x)的图象连续不间断．因此f(x)＝0在区间(－1,0)及上各有一个实根．6．函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)．(1)求g(t)的解析式；(2)求g(t)的最大值．解 (1)f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.对称轴x＝2.①当t＋1＜2，即t＜1时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，∴g(t)＝f(t＋1)＝－t2＋2t＋2；②当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝3；③当t＞2时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，∴g(t)＝f(t)＝－t2＋4t－1.综上所述，g(t)＝(2)当t＜1时，g(t)＝－t2＋2t＋2＝－(t－1)2＋3＜3；当1≤t≤2时，g(t)＝3；当t＞2时，g(t)＝－t2＋4t－1＝－(t－2)2＋3＜3.∴g(t)的最大值为3.4
