第1讲 数列的概念与简单表示法分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·广州模拟)在数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，则x2013＝( )． A．－1B．－C.D．1解析 将x1＝1代入xn＋1＝－1，得x2＝－，再将x2代入xn＋1＝－1，得x3＝1，所以数列{xn}的周期为2，故x2013＝x1＝1.答案 D2．(2022·西安模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，则此数列是( )．A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析 ∵Sn＋Sn＋1＝an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＋Sn＝an.两式相减得an＋an＋1＝an＋1－an，∴an＝0(n≥2)．当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，∴an＝0(n∈N*)，故选C.答案 C3．(2022·北京朝阳区一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5＝( )．A．－16B．16C．31D．32解析 当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1，又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)．∴＝2.∴an＝1×2n－1，∴a5＝24＝16.答案 B4．(2022·日照二模)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝5\n( )．A．3×44＋1B．3×44C．44D．44＋1解析 由an＋1＝3Sn，知an＝3Sn－1(n≥2)∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an(n≥2)．∴an＝∴a6＝3×44.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·蚌埠模拟)数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．解析 易知a1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，这样只需求数列{an}的最末一个非负项．令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最后一个正项，a11＝0，故前10或11项和最大．答案 10或116．(2022·杭州调研)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________；an＝________.解析 由an＝n(an＋1－an)，可得＝，则an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n.答案 2 n三、解答题(共25分)7．(12分)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求{an}的通项公式．解 ∵an＝an－1＋(n≥2)，∴an＝3an－1＋4，∴an＋2＝3(an－1＋2)．又a1＋2＝3，故数列{an＋2}是首项为3，公比为3的等比数列．∴an＋2＝3n，即an＝3n－2.8．(13分)(2022·西安质检)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.5\n(1)求证：成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明 当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解 由(1)可得＝2n，∴Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.当n＝1时，a1＝不适合上式．故an＝分层B级 创新能力提升1．(2022·山东省实验中学诊断性测试)将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2012项与5的差即a2012－5＝( )． A．2018×2012B．2018×2011C．1009×2012D．1009×2011解析 结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋…＋(n＋2)．所以a2012－5＝4＋5＋…＋2014＝2011×1009.故选D.答案 D2．(2022·长春模拟)在数列{an}中，an＝，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( )．A．a1，a50B．a1，a44C．a45，a44D．a45，a50解析 an＝＝1＋，5\n∴当n∈[1,44]时，{an}单调递减，当n∈[45,100]时，{an}单调递减，结合函数f(x)＝的图象可知，(an)max＝a45，(an)min＝a44，选C.答案 C3．(2022·合肥模拟)已知f(x)为偶函数，f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，则a2013＝________.解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)．故f(x)周期为4，∴a2013＝f(2013)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝.答案 4．(2022·苏州模拟)函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．解析 y＝x2上点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，令y＝0可得x＝ak，即ak＋1＝ak，即可得数列{ak}是首项为16，公比为的等比数列，则a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.答案 215．根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式，求其通项公式．(1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)；(2)a1＝2，an＋1＝an＋ln.解 (1)∵an＝an－1＋3n－1(n≥2)，∴an－1＝an－2＋3n－2，an－2＝an－3＋3n－3，…a2＝a1＋31，以上(n－1)个式子相加得an＝a1＋31＋32＋…＋3n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.(2)∵an＋1＝an＋ln，∴an＋1－an＝ln＝ln，∴an－an－1＝ln，5\nan－1－an－2＝ln，…a2－a1＝ln，∴an－a1＝ln＋ln＋…＋ln＝lnn．又a1＝2，∴an＝lnn＋2.6．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．解 (1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，当n＝1时，a1＝a不适合上式，故an＝an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，当n≥2时，an＋1≥an⇔12·n－2＋a－3≥0⇔a≥－9.又a2＝a1＋3>a1.综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．5
