第1讲 平面向量的概念及其线性运算分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么( )． A.＝B.＝2C.＝3D．2＝解析 由2＋＋＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故＝.答案 A2．(2022·北京海淀一模)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么＝( )．A.＋B．－－C．－＋D.－解析 在△CEF中，有＝＋，因为E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的中点，所以＝.所以＝＋＝＋＝＋＝－.答案 D3．(2022·宁波四所重点中学联考)已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )．A．a－b＋c－d＝0B．a－b－c＋d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a＋b＋c＋d＝06\n解析 依题意，得＝，故＋＝0，即－＋－＝0，即有－＋－＝0，则a－b＋c－d＝0.选A.答案 A4．(2022·杭州高三质量检测)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为( )．A.B.C.D.解析 由＋2＝3，得－O＝2－2，即B＝2，所以＝.故选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·温州模拟)设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．解析 ∵＝＋＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使＝λB.即∴p＝－1.答案 －16.如图，在矩形ABCD中，||＝1，||＝2，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________.解析 根据向量的三角形法则有|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝4.答案 4三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在平行四边形OADB中，设＝a，＝b，＝，＝.试用a，b表示，及.6\n解 由题意知，在平行四边形OADB中，＝＝＝(－)＝(a－b)＝a－b，则＝＋＝b＋a－b＝a＋b.＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b，＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.8．(13分)(1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．(1)证明 因为＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，所以＝＋＝10e1＋15e2.又因为＝2e1＋3e2，得＝5，即∥，又因为，有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)解 ＝－＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，＝2e1＋ke2，若A，B，D共线，则∥，设＝λA，所以⇒k＝－8.分层B级 创新能力提升1．在△ABC中，已知点D为BC边上的中点，点P满足＋＋＝0.＝λ，则实数λ的值为( )．A．－1B．－2C．－3D．－解析 如图所示，由＝λ，且＋＋＝0，则P为以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，则λ＝－2.答案 B2．在▱ABCD中，点E、F分别是CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则6\nλ＋μ＝( )．A．3B.C.D.解析 如图，设＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝＋＝a＋b，＝＋＝a＋b，所以＋＝(a＋b)＝，即＝＋.所以λ＝μ＝，λ＋μ＝.答案 C3．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．解析 ＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案 直角三角形4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．解析 ∵O是BC的中点，∴＝(＋)．又∵＝m，＝nA，∴A＝A＋A.∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，则m＋n＝2.答案 26\n5.如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λC时，＝，试确定λ的值．解 ∵＝－＝(－)＝(＋)＝，＝－＝＋λ，又∵＝，∴＋λM＝，即λM＝M，∴λ＝.6．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求＋＋；(2)若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.(1)解 ∵＋＝2，又2G＝－，∴＋＋＝－＋＝0.(2)证明 显然＝(a＋b)．因为G是△ABO的重心，所以＝＝(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得∥，所以，有且只有一个实数λ，使＝λ.而＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b，所以a＋b＝λ.又因为a，b不共线，所以6\n消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.6
