第9讲 函数模型及其应用分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水( )．A．10吨B．13吨C．11吨D．9吨解析 设该职工该月实际用水x吨，易知x>8，则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，∴x＝9.答案 D2．(2022·潍坊一模)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )．A．y＝100xB．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100log2x＋100解析 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得，应选C.答案 C3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )．A．36万件B．18万件C．22万件D．9万件解析 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．答案 B4．(2022·东莞调研)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )．7\n解析 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故选B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·银川模拟)某电脑公司2022年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2022年经营总收入要达到1690万元，且计划从2022年到2022年，每年经营总收入的年增长率相同，2022年预计经营总收入为________万元．解析 设增长率为x，则有×(1＋x)2＝1690,1＋x＝，因此2022年预计经营总收入为×＝1300(万元)．答案 13006．(2022·金华十校期末)有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙厚度不计)．解析 设矩形场地的宽为xm，则矩形场地的长为(200－4x)m，面积S＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2500.故当x＝25时，S取得最大值2500，即围成场地的最大面积为2500m2.答案 2500m2三、解答题(共25分)7．(12分)(2022·湖北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．7\n解 (1)由已知条件C(0)＝8则k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋－10≥2－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝，即x＝5时等号成立．所以当隔热层为5cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．8．(13分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各项开支2000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解 设该店月利润余额为L，则由题设得L＝Q×(P－14)×100－3600－2000，①由销量图易得Q＝代入①式得L＝(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；7\n当20<P≤26时，Lmax＝元，此时P＝元．故当P＝19.5元时，月利润余额最大为450元．(2)设可在n年内脱贫，依题意有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20，即最早可望在20年后脱贫．分层B级 创新能力提升1．(2022·江门质检)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为( )．A．2B．6C．8D．10解析 由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x)·70·，令104·(100－10x)·70·≥112×104，解得2≤x≤8.故x的最小值为2.答案 A2.(2022·江西)如图，|OA|＝2(单位：m)，|OB|＝1(单位：m)，OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧BD与线段OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB行至点B，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧BD行至点C后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA行至点A后停止．设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)＝0)，则函数y＝S(t)的图象大致是( )．7\n解析 当0<t≤1时，甲从O点行往B点，乙从O点行往A点，故所围图形为三角形，所以S(t)＝×2t×t×sin＝t2(0<t≤1)；当t>1时，甲从B点沿圆弧BD行往C点，乙则停在A点，故所围图形为三角形加扇形，S＝S△AOB＋S扇＝＋×r×3(t－1)＝t＋.此段图象为直线，当甲移动至C点后，甲、乙均不再移动．面积不再增加．显然选项A符合，故选A.答案 A3．(2022·合肥一模)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图所示)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．解析 依题意知，构造三角形相似，得＝，即x＝(24－y)，∴阴影部分的面积S＝xy＝(24－y)y＝(－y2＋24y)，∴当y＝12时，S有最大值为180.答案 1804．将一个长宽分别是a，b(0<b<a)的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是________．解析 设切去正方形的边长为x，x∈，则该长方体外接球的半径为r2＝[(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2]＝[9x2－4(a＋b)x＋a2＋b2]，在x∈存在最小值时，必有0<<，解得<，又0<b<a⇒>1，故的取值范围是.答案 5．(2022·济宁模拟)某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N*7\n)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？解 (1)由题意得：10(1000－x)(1＋0.2x%)≥10×1000，即x2－500x≤0，又x>0，所以0<x≤500.即最多调整500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000－x)(1＋0.2x%)万元，则10x≤10(1000－x)(1＋0.2x%)，所以ax－≤1000＋2x－x－x2，所以ax≤＋1000＋x，即a≤＋＋1恒成立，因为x＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝500时等号成立．所以a≤5，又a>0，所以0<a≤5，即a的取值范围为(0,5]．6．(2022·湖南十二校联考)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时资金不超过收益的20%.(1)请分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；(2)若该公司采用函数模型y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．解 (1)对于函数模型y＝f(x)＝＋2，当x∈[10,1000]时，f(x)为增函数，7\nf(x)max＝f(1000)＝＋2＝＋2<9，所以f(x)≤9恒成立，但当x＝10时，f(10)＝＋2>，即f(x)≤不恒成立，故函数模型y＝＋2不符合公司要求．(2)对于函数模型y＝g(x)＝，即g(x)＝10－，当3a＋20>0，即a>－时递增．为使g(x)≤9对于x∈[10,1000]恒成立，即要g(1000)≤9,3a＋18≥1000，即a≥.为使g(x)≤对于x∈[10,1000]恒成立，即要≤，即x2－48x＋15a≥0恒成立，即(x－24)2＋15a－576≥0，x∈[10,1000]恒成立，又24∈[10,1000]，故只需15a－576≥0即可，所以a≥.综上，a≥，故最小的正整数a的值为328.7
