第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·湛江模拟)设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( )． A．(6,3)B．(7,3)C．(2,1)D．(7,2)解析 a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．答案 B2．(2022·嘉兴模拟)已知平面内任一点O满足＝xO＋yO(x，y∈R)，则“x＋y＝1”是“点P在直线AB上”的( )．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 根据平面向量基本定理知：＝xO＋yO(x，y∈R)且x＋y＝1等价于P在直线AB上．答案 C3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为( )．A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)解析 设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．故选D.答案 D4．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( )．A.B.C．1D．2解析 依题意得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝.6\n答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．解析 ＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.答案 6．(2022·杭州模拟)已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a＝________.解析 设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，∵＝2，∴解得∴C(3,3)．又∵C在直线y＝ax上，∴3＝a·3，∴a＝2.答案 2三、解答题(共25分)7．(12分)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？解 法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ使ka＋b＝λ(a－3b)，由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得，解得k＝λ＝－，∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)．∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向．法二 由法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，6\na－3b＝(10，－4)，∵ka＋b与a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－，此时ka＋b＝＝－(a－3b)．∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．8．(13分)(2022·盐城模拟)已知a，b是两个不共线的非零向量．(1)设＝a，＝tb(t∈R)，＝(a＋b)，当A，B，C三点共线时，求t的值；(2)如图，若a＝，b＝，a与b夹角为120°，|a|＝|b|＝1，点P是以O为圆心的圆弧上一动点，设＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的最大值．解 (1)由题意，可设＝k，将＝－＝tb－a，＝－＝a＋b代入上式，得tb－a＝a＋kb，解得k＝－3，t＝.(2)法一 以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系，则D(1,0)，E.设∠POD＝α，则P(cosα，sinα)．由＝x＋y，得cosα＝x－y，sinα＝y，所以y＝sinα，x＝cosα＋sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin.又0≤α≤，故当α＝时，x＋y的最大值为2.法二 设∠POD＝α，由·＝x·＋y·，·＝x·＋y·，6\n可得cosα＝x－y，cos＝－x＋y.于是x＋y＝2＝2sin.又0≤α≤，故当α＝时，x＋y的最大值为2.分层B级 创新能力提升1．(2022·台州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )． A．30°B．60°C．90°D．120°解析 由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，整理得b2＋a2－c2＝ab，由余弦定理得cosC＝＝，又0°<C<180°，∴C＝60°.答案 B2．(2022·绍兴模拟)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )．A．(2,0)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)解析 ∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，即a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，∴即∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．答案 D3．(2022·扬州质检)设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．解析 ＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．∵A，B，C三点共线，∴∥.∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1.6\n∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8.当且仅当＝时取等号．∴＋的最小值是8.答案 84.(2022·浙大附中期末)设i，j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且＝－2i＋j，＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．解析 由题意得点A的坐标为(－2,1)，点B的坐标为(4,3)，||＝，||＝5.sin∠AOB＝sin(∠AOy＋∠BOy)＝sin∠AOycos∠BOy＋cos∠AOysin∠BOy＝×＋×＝.故S△AOB＝||||sin∠AOB＝×5××＝5.答案 55．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1，0)，B(cosθ，t)．(1)若a∥，且||＝||，求向量的坐标；(2)若a∥，求y＝cos2θ－cosθ＋t2的最小值．解 (1)∵＝(cosθ－1，t)，又a∥，∴2t－cosθ＋1＝0.∴cosθ－1＝2t.①又∵||＝||，∴(cosθ－1)2＋t2＝5.②由①②得，5t2＝5，∴t2＝1.∴t＝±1.当t＝1时，cosθ＝3(舍去)，当t＝－1时，cosθ＝－1，∴B(－1，－1)，∴＝(－1，－1)．(2)由(1)可知t＝，6\n∴y＝cos2θ－cosθ＋＝cos2θ－cosθ＋＝＋＝2－，∴当cosθ＝时，ymin＝－.6．已知向量v＝(x，y)与向量d＝(y,2y－x)的对应关系用d＝f(v)表示．(1)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)与f(b)的坐标；(2)求使f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标；(3)证明：对任意的向量a，b及常数m，n恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)．(1)解 f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)解 设c＝(x，y)，则由f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，得所以所以c＝(2p－q，p)．(3)证明 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，所以f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．又mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，所以mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．故f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b).6
