第3讲 平面向量的数量积分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为( )A．－B.C．2D．6解析 由a·b＝3×2＋m×(－1)＝0，解得m＝6.答案 D2．(2022·东北三校联考)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )．A．－4B．4C．－2D．2解析 设a与b的夹角为θ，∵a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而cosθ＝＝－，∴|a|cosθ＝6×＝－4.答案 A3．(2022·陕西卷)设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于( )．A.B.C．0D．－1解析 ∵a⊥b，∴a·b＝0，即－1＋2cos2θ＝cos2θ＝0.答案 C4．(2022·天津卷)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点P，Q满足＝λA，＝(1－λ)A，λ∈R，若·＝－2，则λ＝( )．A.B.C.D．2解析 ∵＝－＝(1－λ)－，＝－＝λA－，∴·＝－2⇒[(1－λ)－]·[λ－]＝－2，化简得(1－λ)λA·－(1－λ)2－λ2＋·＝－2，又因为·＝0，2＝4，2＝1，6\n所以解得λ＝.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·湖北卷)已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．解析 (1)∵2a＋b＝(2,0)＋(1,1)＝(3,1)，∴|2a＋b|＝＝，则与2a＋b同向的单位向量为＝.(2)设所求夹角为θ.∵向量b－3a＝(－2,1)，∴cosθ＝＝＝－.答案 (1) (2)－6．(2022·江苏卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．解析 以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系xOy，则＝(，0)，＝(，1)，设F(t,2)，则＝(t,2)．∵·＝t＝，∴t＝1，所以·＝(，1)·(1－，2)＝.答案 三、解答题(共25分)7．(12分)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝.(1)求a，b夹角的大小；(2)求|3a＋b|的值．解 (1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7，即9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，∴|a||b|cosθ＝，即cosθ＝，6\n又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为.(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，∴|3a＋b|＝.8．(13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(－tO)·＝0，求t的值．解 (1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．所以|＋|＝2，|－|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知＝(－2，－1)，－tO＝(3＋2t,5＋t)．由(－tO)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.分层B级 创新能力提升1．(2022·鄂州模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上取一点P，使·有最小值，则P点的坐标是( )． A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)解析 设P点坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，·有最小值1.∴此时点P坐标为(3,0)，故选C.答案 C2．(2022·广东卷)对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝6\n.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且ab和ba都在集合中，则ab＝( )．A.B.C．1D.解析 ab＝＝＝cosθ，ba＝＝＝cosθ.∵(ab)×(ba)＝cos2θ.∵θ∈，∴(ab)×(ba)∈.又∵ab和ba都在集合中，不妨设ab＝，ba＝(n1，n2∈Z)，∴(ab)×(ba)＝∈(n1，n2∈Z)．又∵θ∈，ab>0，ba>0，∴n1＝n2＝1.∴ab＝.答案 D3．(2022·湖南卷)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.解析 ·＝·(＋)＝·(＋＋＋)＝2||2＋·＋·＝2×9＋0＋0＝18.答案 184．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．解析 由已知a·c－b·c＝0，a·b＝0，|a|＝1，又a＋b＋c＝0，∴a·(a＋b＋c)＝0，即a2＋a·c＝0，则a·c＝b·c＝－1，由a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，即a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝0，∴a2＋b2＋c2＝－4c·a＝4，即|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.答案 46\n5．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．解 由已知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1.∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－.设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，∴∴2t2＝7.∴t＝－，此时λ＝－.即t＝－时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.∴当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是∪.6．(2022·东营模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝，n＝，且满足|m＋n|＝.(1)求角A的大小；(2)若||＋||＝||，试判断△ABC的形状．解 (1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2m·n＝3，即1＋1＋2＝3，∴cosA＝.∵0<A<π，∴A＝.(2)∵||＋||＝||，∴b＋c＝a，∴sinB＋sinC＝sinA，∴sinB＋sin＝×，即sinB＋cosB＝，∴sin＝.∵0<B<，∴<B＋<，∴B＋＝或，故B＝或.当B＝时，C＝；当B＝时，C＝.6\n故△ABC是直角三角形.6
