2013高考总复习江苏专用（理科）：第五篇平面向量与复数《第27讲平面向量的基本定理及坐标表示》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2011·广东卷改编)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝________.解析 a＋λb＝(1＋λ，2)，于是由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，解得λ＝.答案 2．(2010·陕西卷)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.解析 由a＋b＝(1，m－1)与c＝(－1,2)平行，得2＋m－1＝0，所以m＝－1.答案 －13．在平行四边形ABCD中，若＝(1,3)，＝(2,5)，则＝________，＝________.解析 ＝＝－＝(1,2)，＝－＝(0，－1)．答案 (1,2) (0，－1)4．(2012·揭阳市一模)已知a＝(1,2)，b＝(－1,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ＝________.解析 由a－λb＝(1＋λ，2－λ)与a＝(1,2)垂直，得1＋λ＋2(2－λ)＝0，解得λ＝5.答案 55．(2011·北京卷)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.解析 因为a－2b＝(，3)，所以由(a－2b)∥c，得×－3k＝0，解得k＝1，故填1.答案 16．在△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，向量m＝(1，)与n＝(cosA，sinA6\n)平行，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.解析 由m与n平行，得cosA－sinA＝0，所以tanA＝，A＝.又由acosB＋bcosA＝csinC，得sinC＝1，C＝，所以B＝.答案 7．如图，在四边形ABCD中，AB＝2AD＝1，AC＝，且∠CAB＝，∠BAD＝，设＝λ＋μ，则λ＋μ＝______.解析 建立直角坐标系如图，则由＝λAB＋μ，得(，0)＝λ＋μ，即解得λ＝μ＝2，所以λ＋μ＝4.答案 4二、解答题(每小题15分，共45分)8．已知A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，试问λ为何值时，点P在第三象限．解 设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)．于是由＝＋λAC＝(3＋5λ，1＋7λ)得(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，即所以从而由解得λ＜－1.9．已知点A(－1,2)，B(2,8)以及＝，＝－，求点C，D的坐标和的坐标．解 设点C，D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，6\n由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．因为＝，＝－，所以有和解得和所以点C，D的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而＝(－2，－4)．10．(2010·无锡调研)如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，＝x·＋y·.(1)若＝，求x，y的值；(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°时，求·的值．解 (1)因为＝，所以＋＝＋，即2＝＋，所以＝＋，所以x＝，y＝.(2)因为＝3，所以＋＝3＋3，即＝＋，所以x＝，y＝.故·＝·(－)＝·－·＋·＝×22－×42＋×4×2×＝－9.B级 综合创新备选6\n(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为________．解析 设D(x，y)，则由＝2，得(4,3)＝2(x，y－2)，得解得答案 2．(2012·深圳调研)在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积，若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)满足p∥q，则C＝________.解析 由p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)且p∥q，得4S＝a2＋b2－c2，即2abcosC＝4S＝2absinC，所以tanC＝1.又0＜C＜π，所以C＝.答案 3．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a＝________.解析 设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，∵＝2，∴解得∴C(3,3)．又∵C在直线y＝ax上，∴3＝a·3，∴a＝2.答案 24．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析 由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.又因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.6\n由平面向量基本定理，得所以答案 －5．(2012·青岛模拟)设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是________．解析 由a＝2b，得由λ2－m＝cos2α＋2sinα＝2－(sinα－1)2，得－2≤λ2－m≤2，又λ＝2m－2，则－2≤4(m－1)2－m≤2，∴解得≤m≤2，而＝＝2－，故－6≤≤1.答案 [－6,1]6．(★)(2010·南通调研)如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．解析 不妨以点A为原点，AD所在直线为x轴，建立直角坐标系，结合正六边形的特殊结构，当点P在CE上时β＝3，当P在D点时，α＋β＝4.答案 [3,4]二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知a＝ksinθ·e1＋(2－cosθ)·e2，b＝e1＋e2，且a∥b，e1，e2分别是x轴与y轴上的单位向量，θ∈(0，π)．(1)求k与θ的关系式：(2)求k＝f(θ)的最小值．解 (1)由a∥b，得a＝λb，即ksinθe1＋(2－cosθ)·e2＝λ(e1＋e2)．因为e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，所以即ksinθ＝2－cosθ，所以k＝，θ∈(0，π)．6\n(2)k＝＝＝＝＝tan＋≥，当且仅当tan＝，即θ＝时等号成立，所以k的最小值为.8．已知向量v＝(x，y)与向量d＝(y,2y－x)的对应关系用d＝f(v)表示．(1)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)与f(b)的坐标；(2)求使f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标；(3)证明：对任意的向量a，b及常数m，n恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)．(1)解 f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)解 设c＝(x，y)，则由f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，得， 所以所以c＝(2p－q，p)．(3)证明 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，所以f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)又mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，所以mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)故f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)．6
