【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第4章第2节平面向量的基本定理及坐标运算课后限时自测理苏教版[A级基础达标练]一、填空题1．(2013·陕西高考改编)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m＝________.2[解析]由a∥b⇒m＝1×2⇒m＝2或m＝－2.[答案]±2x8，2．已知向量a＝2，b＝(x,1)，其中x＞0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x＝________.x8－2x，－2[解析]a－2b＝2，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，x－2由题意得(8－2x)·(x＋1)＝2·(16＋x)，2整理得x＝16，又x＞0，所以x＝4.[答案]4→→→3．如图425所示，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设AD＝a，AB＝b，若AB＝→→2DC，则AO＝________(用向量a和b表示)．图425→→→→[解析]由AB＝2DC知，AB∥DC且|AB|＝2|DC|，→→从而|BO|＝2|OD|.→→→→222∴BO＝BD＝(AD－AB)＝(a－b)，333→→→221∴AO＝AB＋BO＝b＋(a－b)＝a＋b.33321[答案]a＋b331\n→→14．(2014·无锡质检)已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且AC＝2CB，2则实数a等于________．→→→→[解析]设C(x，y)，则AC＝(x－7，y－1)，CB＝(1－x,4－y)，∵AC＝2CB，x－7＝21－x，x＝3，∴解得∴C(3,3)．y－1＝24－y，y＝3，11又∵C在直线y＝ax上，∴3＝a·3，∴a＝2.22[答案]25．(2014·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥CD，AD∥BC，已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．[解析]由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断四边形ABCD是平行四边形，设D(x，y)，→→则有AB＝DC，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)．[答案](0，－2)6．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B的坐标轴上，则B的坐标为________．[解析]当B在x轴上时，设B(x,0)，则b＝(x－1，－2)，77，0因为b∥a，所以3(x－1)＝(－2)×(－2)，解得x＝，即B3.3当B在y轴上时，设B(0，y)，则b＝(－1，y－2)，因为b∥a，7所以(－2)(y－2)＝(－1)×3，解得y＝.27770，0，，0所以B2，即B的坐标为2或3.770，，0[答案]2或37．(2014·苏州调研)如图426，定点A(－1，3)，一小虫可以近似地看做一点，它从单位圆周上P0(1,0)处2\n图426→π开始按逆时针方向运动，且每秒运动的弧长为，在t(t＞0)s时到达点P，记向量OQ＝5→→OA＋OP，则下列结论中正确的有________(把所有正确结论的序号都填上)．→ππcost，sint(1)OP＝55；→ππ－1＋cost，3＋sint(2)OQ＝55；(3)当P点纵坐标第一次达到最大时，所需要的时间是t＝2s；→(4)|OQ|的最大值是2.ππcost，sint[解析]因为P55，→ππcost，sint所以OP＝55，→→→－1＋cosπt，3＋sinπt则OQ＝OA＋OP＝55，故(1)、(2)正确；π5当sint＝1时，t＝10k＋(k∈Z)，52→5当k＝0时，t＝，故(3)错；结合图形可知，向量OQ的模的最大值为3，故(4)错．2[答案](1)(2)πxπ－8．(2014·连云港模拟)函数y＝tan42(0＜x＜4)的图象如图427所示，A为→→→图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于C、B两点，则(OB＋OC)·OA＝________.3\n图427[解析]因为A点是对称中心，且A点坐标是(2,0)，所以点A是线段BC的中点，所以→→→→→→→→→2OC＋OB＝2OA，所以(OB＋OC)·OA＝2OA·OA＝2OA＝2×4＝8.[答案]8二、解答题→→→9．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OP＝OA＋tAB(t∈R)，问：(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在二、四象限的角平分线上？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．[解](1)∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，→→∴OA＝(1,2)，AB＝(3,3)，→→→OP＝OA＋tAB＝(1＋3t,2＋3t)．2若P在x轴上，只需2＋3t＝0，t＝－；3若P在第二、四象限的角平分线上，则11＋3t＝－(2＋3t)，t＝－.2→→(2)OA＝(1,2)，PB＝(3－3t,3－3t)，→→若OABP是平行四边形，则OA＝PB，3－3t＝1，即此方程组无解．3－3t＝2，所以四边形OABP不可能为平行四边形．10．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[解]ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，法一：当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ使ka＋b＝λ(a－3b)，由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得，k－3＝10λ，1解得k＝λ＝－.2k＋2＝－4λ.31∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，34\n11这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)．331∵λ＝－＜0，∴ka＋b与a－3b反向．3法二：∵ka＋b与a－3b平行．1∴(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－，312－－3，－＋21此时ka＋b＝33＝－(a－3b)．31∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．3[B级能力提升练]一、填空题1．若i，j是某平面一组基底，向量r＝xi＋yj(x、y∈R)，则称(x，y)为向量r在基底i、j下的坐标，已知向量α在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则α在基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为________．[解析]由已知得α＝－2p＋2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)．设α＝λm＋μn＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)，－λ＋μ＝2，λ＝0，则∴∴α＝0m＋2n，λ＋2μ＝4，μ＝2，∴α在基底m，n下的坐标为(0,2)．[答案](0,2)→→→2．(2014·南京质检)设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O12为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．ab→→→→→→[解析]AB＝OB－OA＝(a－1,1)，AC＝OC－OA＝(－b－1,2)．→→∵A，B，C三点共线，∴AB∥AC.∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1.1212＋∴＋＝ab(2a＋b)abb4ab4a＝4＋＋≥4＋2·＝8.abab5\nb4a当且仅当＝时取等号．ab12∴＋的最小值是8.ab[答案]8二、解答题3．(2014·苏锡常镇调研)如图428所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P是以→→→A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC＝λDE＋μAP，求λ＋μ的最小值．图428→[解]以A为原点，建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形边长为1，则AC＝(1,1)，→1，－1DE＝2.πλ→0，1＝＋μcosα，设AP＝(cosα，sinα)，α∈2，得2消去λ得μ＝1＝－λ＋μsinα，3.2cosα＋sinα1＋sinα而λ＝μsinα－1，故λ＋μ＝μsinα－1＋μ＝3·－1.2cosα＋sinαπ1＋sinα0，设f(α)＝，α∈2，2cosα＋sinα6\nπ2＋2sinα－cosα0，则f′(α)＝，因为f′(α)＞0恒成立，故f(α)在2上22cosα＋sinα11单调递增，故当α＝0时，[f(α)]min＝f(0)＝，所以(λ＋μ)min＝.227
