平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算 10．F1[2022·江苏卷]设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．10. [解析]如图所示，＝－＝－＝(－)＋＝＋，又＝λ1＋λ2，且与不共线，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.3．F1，A2[2022·陕西卷]设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．C [解析]由已知中|a·b|＝|a|·|b|可得，a与b同向或反向，所以a∥b.又因为由a∥b，可得|cos〈a，b〉|＝1，故|a·b|＝|a|·|b||cos〈a，b〉|＝|a|·|b|，故|a·b|＝|a|·|b|是a∥b的充分必要条件．17．C5，C8，F1[2022·四川卷]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－.(1)求cosA的值；(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．17．解：(1)由2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－，得[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，则cos(A－B＋B)＝－，即cosA＝－.-12-\n(2)由cosA＝－，0<A<π，得sinA＝.由正弦定理，有＝，所以sinB＝＝.由题意知a>b，则A>B，故B＝.根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(舍去)，故向量在方向上的投影为||cosB＝.12．F1[2022·四川卷]在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．12．2 [解析]根据向量运算法则，＋＝＝2，故λ＝2.10．F1、F2，F3[2022·重庆卷]在平面上，⊥，|OB1|＝||＝1，＝＋.若||＜，则||的取值范围是( )A.B.C.D.10．D [解析]根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图．设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，由||＝||＝1得则又由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，则1－x2＋1－y2＜，即x2＋y2＞①.又(x－a)2＋y2＝1，得x2＋y2＋a2＝1＋2ax≤1＋a2＋x2，则y2≤1；同理由x2＋(y－b)2＝1，得x2≤1，即有x2＋y2≤2②.由①②知＜x2＋y2≤2，所以＜≤.-12-\n而||＝，所以＜||≤，故选D.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 9．F2、E5[2022·安徽卷]在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )A．2B．2C．4D．49．D [解析]由||＝||＝·＝2，可得点A，B在圆x2＋y2＝4上且∠AOB＝60°，在平面直角坐标系中，设A(2，0)，B(1，)，设P(x，y)，则(x，y)＝λ(2，0)＋μ(1，)，由此得x＝2λ＋μ，y＝μ，解得μ＝，λ＝x－y，由于|λ|＋|μ|≤1，所以x－y＋y≤1，即|x－y|＋|2y|≤2.①或②或③或④上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图阴影部分所示，所以所求区域的面积是4.6．F2[2022·湖南卷]已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )A．[－1，＋1]B．[－1，＋2]C．[1，＋1]D．1，＋26．A [解析]由题可知a·b＝0，则a⊥b，又|a|＝|b|＝1，且|c－a－b|＝1，不妨令c＝(x，y)，a＝(1，0)，b＝(0，1)，则(x－1)2＋(y－1)2＝1，又|c|＝-12-\n，故根据几何关系可知|c|max＝＋1＝1＋，|c|min＝－1＝－1，故选A.13．F2[2022·北京卷]向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．图1－313．4 [解析]以向量a和b的交点为原点，水平方向和竖直方向分别为x轴和y轴建立直角坐标系，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，则解得所以＝4.3．F2[2022·辽宁卷]已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为( )A.B.C.D.3．A [解析]∵＝(3，－4)，∴与方向相同的单位向量为＝，故选A.12．F2[2022·天津卷]在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为________．12. [解析]由题意得＝－＝＋－＝－，＝＋，所以·＝(＋)＝2－2＋·＝1－2＋||×1×＝1，解得||＝或0(舍去)．13．F2、F3[2022·新课标全国卷Ⅱ]已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________．13．2 [解析]如图，建立直角坐标系，则＝(1，2)，＝(－2，2)，·＝2.-12-\n21．F2、F3、H3、H5，H8[2022·重庆卷]如图1－9所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．图1－921．解：(1)由题意知点A(－c，2)在椭圆上，则＋＝1，从而e2＋＝1.由e＝得b2＝＝8，从而a2＝＝16.故该椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)．又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4，4])．设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取得最小值．又因x1∈(－4，4)，所以上式当x＝2x0时取得最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.因为PQ⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，所以·′＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，即(x1－x0)2－y＝0.由椭圆方程及x1＝2x0得x－8＝0，解得x1＝±，x0＝＝±，从而|QP|2＝8－x＝.故这样的圆有两个，其标准方程分别为＋y2＝，＋y2＝.10．F1、F2，F3[2022·重庆卷]在平面上，⊥，|OB1|＝||＝1，＝＋.-12-\n若||＜，则||的取值范围是( )A.B.C.D.10．D [解析]根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图．设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，由||＝||＝1得则又由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，则1－x2＋1－y2＜，即x2＋y2＞①.又(x－a)2＋y2＝1，得x2＋y2＋a2＝1＋2ax≤1＋a2＋x2，则y2≤1；同理由x2＋(y－b)2＝1，得x2≤1，即有x2＋y2≤2②.由①②知＜x2＋y2≤2，所以＜≤.而||＝，所以＜||≤，故选D.F3 平面向量的数量积及应用 13．F3[2022·新课标全国卷Ⅰ]已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________．13．2 [解析]因为|a|＝|b|＝1，a·b＝，所以b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝t＋1－t＝0，所以t＝2.6．F3[2022·湖北卷]已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为( )A.B.C．－D．－-12-\n6．A [解析]＝(2，1)，＝(5，5)，||·cos〈，〉＝＝，选A.12．F3[2022·江西卷]设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．12. [解析]向量a在b方向上的射影为|a|cosθ＝|a|＝＝.9．F3[2022·辽宁卷]已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有( )A．b＝a3B．b＝a3＋C．(b－a3)＝0D．|b－a3|＋＝09．C [解析]由题意知当三角形ABC为直角三角形时，分为两类，∠OAB，∠OBA分别为直角．当∠OAB为直角时b＝a3；当∠OBA为直角时，·＝0，则(a，a3)·(a，a3－b)＝0，所以b－a3－＝0.所以(b－a3)·＝0，故选C.11．F3、H8[2022·全国卷]已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·MB＝0，则k＝( )A.B.C.D．211．D [解析]抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l的方程为x＝ty＋2，与抛物线方程联立得y2－8ty－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－16，y1＋y2＝8t，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋4＝8t2＋4，x1x2＝t2y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝－16t2＋16t2＋4＝4.·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝4＋16t2＋8＋4－16－16t＋4＝16t2－16t＋4＝4(2t－1)2＝0，解得t＝，所以k＝＝2.3．F3[2022·全国卷]已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )A．－4B．－3C．－2D．－1-12-\n3．B [解析](m＋n)⊥(m－n)(m＋n)·(m－n)＝0m2＝n2，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3.15．F3[2022·山东卷]已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．15. [解析]∵⊥，∴·＝·＝－λ2＋2＋·＝0，即－λ×9＋4＋×3×2×＝0，解之得λ＝.16．F3，C4[2022·陕西卷]已知向量a＝cosx，－，b＝(sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值．16．解：f(x)＝cosx，－·(sinx，cos2x)＝cosxsinx－cos2x＝sin2x－cos2x＝cossin2x－sincos2x＝sin2x－.(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.由正弦函数的性质，当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－，当2x－＝π，即x＝时，f＝，∴f(x)的最小值为－.因此，f(x)在0，上最大值是1，最小值是－.13．F2、F3[2022·新课标全国卷Ⅱ]已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则-12-\n·＝________．13．2 [解析]如图，建立直角坐标系，则＝(1，2)，＝(－2，2)，·＝2.7．F3[2022·浙江卷]设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则( )A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝ACD．AC＝BC7．D [解析]建立以AB的中点O为原点的坐标系，如图所示，·＝(c－x，0)·(a－x，b)＝x2－(a＋c)x＋ac，当x＝时，·最小，而已知·最小，所以＝，此时a＝0，所以AC＝BC，选择D.21．F2、F3、H3、H5，H8[2022·重庆卷]如图1－9所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．图1－921．解：(1)由题意知点A(－c，2)在椭圆上，则＋＝1，从而e2＋＝1.由e＝得b2＝＝8，从而a2＝＝16.-12-\n故该椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)．又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4，4])．设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取得最小值．又因x1∈(－4，4)，所以上式当x＝2x0时取得最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.因为PQ⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，所以·′＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，即(x1－x0)2－y＝0.由椭圆方程及x1＝2x0得x－8＝0，解得x1＝±，x0＝＝±，从而|QP|2＝8－x＝.故这样的圆有两个，其标准方程分别为＋y2＝，＋y2＝.10．F1、F2，F3[2022·重庆卷]在平面上，⊥，|OB1|＝||＝1，＝＋.若||＜，则||的取值范围是( )A.B.C.D.10．D [解析]根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图．设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，由||＝||＝1得则又由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，则1－x2＋1－y2＜，即x2＋y2＞①.又(x－a)2＋y2＝1，得x2＋y2＋a2＝1＋2ax≤1＋a2＋x2，则y2≤1；同理由x2＋(y－b)2＝1，得x2≤1，即有x2＋y2≤2②.-12-\n由①②知＜x2＋y2≤2，所以＜≤.而||＝，所以＜||≤，故选D.F4 单元综合 7．F4[2022·福建卷]在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A.B．2C．5D．107．C [解析]∵·＝1×(－4)＋2×2＝0，∴⊥，面积S＝||·||＝××＝5，故选C.17．F4[2022·浙江卷]设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．17．2 [解析]＝＝＝＝＝≤＝2.1．[2022·湖南师大附中月考(六)]已知三个向量m＝(a，cos)，n＝(b，cos)，p＝(c，cos)共线，其中a，b，c，A，B，C分别是△ABC的三条边和三个角，则△ABC的形状是( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形1．B [解析]由三个向量m＝，n＝，p＝共线知acos＝bcos，bcos＝ccos.由0<A，B，C<π及正弦定理可得sin＝sin，sin＝sin.又因为0<A，B，C<π，所以0<，，<，故＝＝，即A＝B＝C＝.2．[2022·湖北咸宁、通城、通山、崇阳四地联考]已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2-12-\n＝2交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，若＋＝，则a的值为( )A．±1B．±C．±D．±22．A [解析]将x＋y＝a代入圆的方程得2x2－2ax＋a2－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为＝(x1＋x2，y1＋y2)，又x1＋x2＝a，y1＋y2＝a，故＝(a，a)，又C在圆上，所以2a2＝2，得a＝±1.3．[2022·武汉部分学校联考]已知把向量a＝(1，1)向右平移两个单位，再向下平移一个单位得到向量b，则b的坐标为________．3．(3，0) [解析]由题意a平移的向量为(2，－1)，所以b＝a＋(2，－1)＝(3，0)．4．[2022·漳州五校期末]已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|a－b|等于( )A．1B.C.D．34．C [解析]由于投影长相等，故有|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，因为|a|＝1，|b|＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，则|a－b|＝＝.5．[2022·河南三门峡模拟]在平面直角坐标系中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足向量在向量上的投影为－，则点P的轨迹方程是( )A．x－2y＋5＝0B．x＋2y－5＝0C．x＋2y＋5＝0D．x－2y－5＝05．C [解析]由题意知－＝＝，所以点P的轨迹方程是x＋2y＋5＝0，故选C.6．[2022·黄冈期末]如图K18－1所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC.若||＝a，||＝b，则·＝( )图K18－1A．a2－b2B．b2－a2C．a2＋b2D．ab6．B [解析]·＝·(－)＝||||·cos〈，〉－||||cos〈，〉，因为AB⊥BC且AD⊥DC，所以·＝||2－|AB|2＝b2－a2.-12-
