第25讲 解三角形的实际应用 1.有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现要把其倾斜角改为30°，而坡高不变，则坡长需伸长( )A．100米B．100米C．100(－1)米D．100(－1)米 2.为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是( )A．20(1＋)mB．20(1＋)mC．20(1＋)mD．20(1－)m 3.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致为( )6\n 4.已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为( )A．10kmB.kmC．10kmD．10km 5.从A处望B的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α______β(填“>、<、＝”)． 6.如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B和对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AB＝120米，则河的宽度为__________米． 7.如图，南山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架了一条索道AC，小李在山脚B处看索道，发现张角∠ABC＝120°，从B处攀登400米到达D处，回头看索道，发现张角∠ADC＝160°，从D处再攀登800米到达C处，问索道AC长多少？(精确到米，使用计算器计算)6\n 1.在△OAB中，O为坐标原点，A(1，cosθ)，B(sinθ，1)，θ∈(0，]，则△OAB的面积达到最大值时，θ＝( )A.B.C.D. 2.一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是______海里/小时． 3.如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进4km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角．已知该岛周围3.5km范围内有暗礁，现该船继续东行．(1)若α＝2β＝60°，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B处向东航行多少km开始有触礁危险？(2)当α与β满足什么条件时，该船没有触礁危险？6\n第25讲巩固练习1．C 2.A 3.C4．D 解析：如图，△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠B＝120°，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°＝102＋202－2×10×20×(－)＝700，所以AC＝10km，所以选D.5．＝6．60(－1)解析：过C点作CD⊥AB于D，设BD＝x，则CD＝x，AD＝120－x，又因为∠CAB＝30°，所以＝，解之得x＝60(－1)(米)．7．解析：在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝160°，所以∠ADB＝20°，所以∠DAB＝40°.因为＝，所以＝，所以AD≈538.9米．在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝160°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝538.92＋8002－2×538.9×800·cos160°6\n≈1740653.8，所以AC≈1319米．所以索道AC长约1319米．提升能力1．D 解析：S△OAB＝||·||·sin〈，〉＝||·||·＝||·||·＝＝＝(1－sin2θ)．因为θ∈(0，]，所以2θ∈(0，π]，所以θ＝时，S△OAB最大．2．10解析：设该船的速度为v海里/小时，如图，由题意知：AD＝，AC＝v，CD＝＝v.又∠B＝∠BDC＝15°，所以BC＝CD＝v＝10.3．解析：(1)作MC⊥AB，垂足为C.由已知α＝60°，β＝30°，所以∠ABM＝120°，∠AMB＝30°.所以BM＝AB＝4，∠MBC＝60°.6\n设该船自B向东航行至D点有触礁危险，则MD＝3.5km.在△MBC中，BM＝4km，BC＝2km，MC＝MB·sin∠MBC＝4×＝2(km)，所以CD＝＝0.5(km)，所以BD＝1.5(km)．所以该船自B向东航行1.5km开始有触礁危险．(2)设CM＝x.在△MAB中，由正弦定理得＝，即＝，则BM＝.而x＝BM·sin∠MBC＝BM·cosβ＝，所以，当x>3.5，即>，即>时，该船没有触礁危险．6
