第28讲 平面向量的应用 1.在△ABC中，(＋)·＝||2，则三角形ABC的形状一定是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形 2.一条河宽为400m，一船从A处出发航行垂直到达河对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h.则船到达B所需的时间为( )A．1.5分钟B．1.8分钟C．2.2分钟D．3分钟 3.(2022·鄂州二中)已知向量a，b满足|a|＝3|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上单调递增，则a，b的夹角的取值范围是( )A．[0，)B．[0，]C．(，]D．(，] 4.(2022·河北正定中学)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·(＋)( )A．最大值为8B．是定值6C．最小值为2D．与P的位置有关 5.已知两个非零向量a，b，定义|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为a与b的夹角，若a＋b＝(－3，6)，a－b＝(－3，2)，则|a×b|＝______. 6.(2022·浙江卷)若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的取值范围是________________________________________________________________________． 7.已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．(1)若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；5\n(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值． 1.(2022·上海卷)设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同的点，则使＋＋＋＝0成立的点M的个数为( )A．0B．1C．2D．4 2.(2022·南京市高三)如图，在正方形ABCD内，已知AB＝2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值为______． 3.(2022·辽南协作体)在四边形ABCD中，||＝12，||＝5，||＝10，|＋|＝||，在方向上的投影为8.(1)求∠BAD的正弦值；(2)求△BCD的面积．第28讲巩固练习5\n1．C 2.A 3.B4．B 解析：因为＝＋所以·(＋)＝(＋)·(＋)＝2＋·＋·＋·＝||2＋||·||cos60°＋||·||·cos120°＋||·||×cos60°＝4＋2－|BP|＋|BP|＝6.5．6 解析：因为a＋b＝(－3，6)，a－b＝(－3，2)，所以a＝(－3，4)，b＝(0，2)．所以cosθ＝＝，所以sinθ＝，所以|a×b|＝2×5×＝6.6．[，]解析：由题意S▱ABCD＝|α|·|β|·sinθ＝⇒sinθ＝≥，又夹角θ∈[0，π]，所以θ∈[，]．7． 解析：(1)若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线，因为＝(3，1)，＝(2－m，1－m)，故知3(1－m)≠2－m，所以实数m≠时，满足条件．(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则⊥，所以3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝.提升能力1．B 解析：在△ABC中，若＋＋＝0，则O为△ABC的重心；类比可得＋＋＋＝0，满足条件的点也只有一个，可用反证法．2．65\n解法1：(从几何意义入手)·＝||·||cos∠NAM＝·||cos∠NAM.即·的最大值为在正方向投影的最大值，易知当N在C点时，·最大值为6.解法2：建立如图所示的坐标系，则M(2，1)，＝(2，1)，令N(x，y)(0≤x≤2，0≤y≤2)，＝(x，y)，所以·＝2x＋y，易知x＝2，y＝2时，(·)max＝6.3．解析：(1)因为|＋|＝||＝|－|⇒⊥，所以∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，||＝12，||＝5，所以||＝13，cos∠DAC＝，sin∠DAC＝，因为在方向上的投影为8，所以||cos∠CAB＝8，||＝10，所以cos∠CAB＝，因为∠CAB∈(0，π)，所以sin∠CAB＝，所以sin∠BAD＝sin(∠DAC＋∠CAB)＝.(2)S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝39，S△ACD＝AD·CD＝30，S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD＝，所以S△BCD＝S△ABC＋S△ACD－S△ABD＝.5\n5
