第54讲 圆的方程 1.(2022·四川卷)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )A．(2，3)B．(－2，3)C．(－2，－3)D．(2，－3) 2.已知倾斜角为60°的直线l过圆C：x2＋2x＋y2＝0的圆心，则此直线l的方程是( )A.x＋y＋1＝0B．x－y＋1＝0C．x＋y＋1＝0D.x－y＋＝0 3.方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆方程，则t的取值范围是( )A．－1<t<B．－1<t<C．－<t<1D．1<t<2 4.已知圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，下列结论错误的是( )A．当a2＋b2＝r2时，圆必过原点B．当a＝r时，圆与y轴相切C．当b＝r时，圆与x轴相切D．当b<r时，圆与x轴相交 5.设P为圆x2＋y2＝1上的动点，则点P到直线3x－4y－10＝0的距离的最小值为______． 6.(2022·辽宁卷)已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为____________________． 7.已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求的最大值和最小值．4\n 1.过点P(4，2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A、B，O为坐标原点，则△OAB的外接圆方程是( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝5B．(x－4)2＋(y－2)2＝20C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20 2.(2022·湖北黄冈市调研考试题)如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若＝xe1＋ye2(其中e1、e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量)，设P点斜坐标为(x，y)．(1)若P点斜坐标为(2，－2)，求P到O的距离|PO|；(2)求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程．4\n 3.设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q，满足关于直线x＋my＋4＝0对称，又满足·＝0.(1)求m的值；(2)求直线PQ的方程．第54讲巩固练习1．D 2.D 3.C4．D 解析：已知圆的圆心坐标为(a，b)，半径为r，当b<r时，圆心到x轴的距离为|b|，只有当|b|<r时，才有圆与x轴相交，而b<r不能保证|b|<r，故D是错误的．故选D.5．1解析：圆心(0，0)到直线3x－4y－10＝0的距离d＝＝2.再由d－r＝2－1＝1，知最小距离为1.6．(x－2)2＋y2＝10解析：设圆心坐标为(x，0)，则(x－5)2＋1＝(x－1)2＋32，解得x＝2.则半径r2＝(5－2)2＋12＝10，所以C的方程为(x－2)2＋y2＝10.7．解析：如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2，0)为圆心，以为半径的圆．设＝k，即y＝kx，由圆心(2，0)到y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由＝，解得k2＝3.所以kmax＝，kmin＝－.(也可由平面几何知识，有OC＝2，CP＝，∠POC＝60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°解之)提升能力4\n1．A2．解析：(1)因为P点斜坐标为(2，－2)，所以＝2e1－2e2.所以||2＝(2e1－2e2)2＝8－8e1·e2＝8－8×cos60°＝4.所以||＝2，即|OP|＝2.(2)设圆上动点M的斜坐标为(x，y)，则＝xe1＋ye2.所以(xe1＋ye2)2＝1.所以x2＋y2＋2xye1·e2＝1.所以x2＋y2＋xy＝1.故所求方程为x2＋y2＋xy＝1.3．解析：(1)曲线方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9表示圆心为(－1，3)，半径为3的圆．因为点P、Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，所以圆心(－1，3)在直线x＋my＋4＝0上．代入得m＝－1.(2)因为直线PQ与直线y＝x＋4垂直，所以设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，PQ方程为y＝－x＋b.将直线y＝－x＋b代入圆方程，得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0.Δ＝4(4－b)2－4×2×(b2－6b＋1)>0，得2－3<b<2＋3.由韦达定理得x1＋x2＝－(4－b)，x1·x2＝.y1·y2＝b2－b(x1＋x2)＋x1·x2＝＋4b.因为·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，即b2－6b＋1＋4b＝0.解得b＝1∈(2－3，2＋3)．所以所求的直线方程为y＝－x＋1.4
