第27讲 平面向量的数量积 1.(2022·襄樊四中)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( )A．0B．2C．4D．8 2.已知a＝(λ，2)，b＝(－3，5)，且a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围为( )A．λ>B．λ≥C．λ<D．λ<且λ≠－ 3.(2022·江西卷)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝______. 4.(2022·安徽卷)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________． 5.若b与a＝(2，－2)共线，且b·a＝－16，则b的坐标是________． 6.设向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2＝______． 7.已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a的值；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．4\n 1.(2022·上海卷)在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则·＝________． 2.(2022·湖南卷)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，AP＝3且·＝______． 3.(2022·厦门市翔安一中)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围．第27讲巩固练习1．B 2.D 3.－64.解析：由题意a2＋a·b－2b2＝－6，又a2＝1，b2＝4，所以a·b＝1，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.5．(－4，4)解析：设b＝(x，y)．因为b∥a，所以－2x－2y＝0.①又b·a＝－16，所以2x－2y＝－16.②由①②得，所以b＝(－4，4)．6．5解析：由a＋b＋c＝0，知c＝－a－b，4\n所以|c|2＝|－a－b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝5.7．解析：(1)因为a＝(1，2)，b＝(2，－2)，所以c＝4a＋b＝(4，8)＋(2，－2)＝(6，6)．所以b·c＝2×6－2×6＝0，所以(b·c)a＝0.(2)a＋λb＝(1，2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1，2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，所以2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，所以λ＝.(3)设向量a与b的夹角为θ，则向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝＝＝－＝－.提升能力1.解析：由题意，＝＋，·＝·(＋)＝2＋·＝32＋3×1×cos120°＝9－＝. 2.18 解析：设AC∩BD＝O，则＝2(＋)，·＝·2(＋)＝2·＋2·＝2·＝2(＋)＝22＝18.3．解析：(1)因为a⊥b，所以cosθ－sinθ＝0，4\n得tanθ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.(2)因为2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，所以|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋8(sinθ－cosθ)＝8＋8sin(θ－)，又θ∈[0，π]，所以θ－∈[－，]，所以sin(θ－)∈[－，1]，所以|2a－b|2的最大值为16，所以|2a－b|的最大值为4，又|2a－b|<m恒成立，所以m>4.4
