第26讲 矩阵与变换近几年江苏高考矩阵与变换选讲重点考查二阶矩阵与平面向量、矩阵的变换、逆矩阵及矩阵特征值和特征向量，题目以简单题、中档题为主，复习中不宜过难．考试说明：序号内容要求ABC1矩阵的有关概念√2二阶矩阵与平面向量√3常见的平面变换√4矩阵的复合与矩阵的乘法√5二阶逆矩阵√6二阶矩阵的特征值和特征向量√7二阶矩阵的简单应用√例1已知矩阵A＝的逆矩阵A－1＝，向量α＝.(1)求矩阵A；(2)求A2α的值．解：(1)矩阵A＝.(2)(解法1)矩阵A2＝，所以A2α＝.(解法2)矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，令f(λ)＝0，得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，得α1＝；当λ2＝3时，得α2＝.又α＝－2α1＋α2，∴A2α＝A2(－2α1＋α2)＝－2A2α1＋A2α2＝－2(λα1)＋λα2＝－23＋32＝.设二阶矩阵A、B满足A－1＝，(BA)－1＝，求B－1.解：设B－1＝，-5-\n因为(BA)－1＝A－1B－1，所以＝，即解得所以B－1＝.例2已知矩阵A的逆矩阵A－1＝.(1)求矩阵A；(2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．解：因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A＝＝.(2)矩阵A－1的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f(λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝是矩阵A－1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝是矩阵A－1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．已知矩阵的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．解：矩阵的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－6，因为λ1＝4是方程f(λ)＝0的一个根，所以x＝2.由(λ－1)(λ－2)－6＝0得λ2＝－1.(6分)设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝，则得x＝－y，令x＝1，则y＝－1，则矩阵的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝.例3已知矩阵A＝的一个特征根为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝.(1)求m与n的值；(2)求A－1.解：(1)由题意得Aα＝λα＝λ＝2-5-\n(2)设A－1＝＝E＝，∴解得即A－1＝.已知矩阵A＝的一个特征值为λ1＝－1，其对应的一个特征向量为α1＝，已知β＝，求A5β.解：由题意Aα1＝＝＝－，∴∴A的特征多项式为f(λ)＝(λ－1)λ－2＝λ2－λ－2＝0，则λ1＝－1，λ2＝2.当λ2＝2时，特征方程为∴属于特征值λ2＝2的一个特征向量为α2＝，∴β＝＝－2＋3.∴A5β＝A5(－2＋3)＝(－2)×(－1)5＋3×25＝.例4已知矩阵M＝对应的变换将点A(1，1)变为A′(0，2)，将曲线C：xy＝1变为曲线C′.(1)求实数a、b的值；(2)求曲线C′的方程．解：(1)由题知，＝，即解得(2)设P′(x，y)是曲线C′上任意一点，P′由曲线C上的点P(x0，y0)经矩阵M所表示的变换得到，所以＝，即解得因为x0y0＝1，所以·＝1，即－＝1，即曲线C′的方程为－＝1.若圆C：x2＋y2＝1在矩阵A＝(a>0，b>0)对应的变换下变成椭圆E：＋＝1，求矩阵A的逆矩阵A－1.-5-\n解：设点P(x，y)为圆C：x2＋y2＝1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P′(x′，y′)，则＝＝，所以因为点P′(x′，y′)在椭圆E：＋＝1上，所以＋＝1.又圆的方程为x2＋y2＝1，故，即又a>0，b>0，所以a＝2，b＝.所以A＝，所以A－1＝.1.(2022·江苏卷)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.解：设矩阵A的逆矩阵为，则＝，即＝，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，∴矩阵A的逆矩阵为A－1＝，∴A－1B＝＝.2.(2022·江苏卷)已知矩阵A＝，B＝，向量a＝，x、y是实数，若Aa＝Ba，求x＋y的值．解：由题意得解得∴x＋y＝.3.已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.解：A2＝＝.设α＝，由A2α＝β，得＝，从而解得所以α＝.点拨：本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力．-5-\n4.已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．解：∵A－1A＝E，∴A＝(A－1)－1.∵A－1＝，∴A＝(A－1)－1＝.∴矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得矩阵A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.点拨：考查矩阵的基础知识，考查运算求解能力．(本题模拟高考评分标准，满分10分)(2022·苏锡常镇模考)已知点M(3，－1)绕原点逆时针旋转90°后，且在矩阵对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a、b的值．解：绕原点逆时针旋转90°对应的变换矩阵为.(2分)∴＝.(5分)则由＝，(7分)得∴a＝3，b＝1.(10分)已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝.求矩阵A.解：＝－，＝4，∴解得∴矩阵A＝.-5-
