专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲 集合与简单逻辑用语1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值，还是因变量的取值，还是曲线上的点，…集合中元素的“三性”既是解题的突破口，也是检验所得字母取值(或范围)是否保留的依据．2.数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．3.已知集合A、B，当A∩B＝时，你是否注意到“极端”情况：A＝或B＝？求集合的子集时是否忘记？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．4.对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．5.命题逻辑联结词“或”“且”“非”与集合论中的“并”“交”“补”运算要进行类比理解，掌握解这类题的一般步骤与解题格式．6.学习本节内容，要侧重于语言(集合语言、数学符号语言)的转化，要强化数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法在数学中的应用．1.已知A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B且xA∩B}．若A＝{x∈R|y＝}，B＝{y|y＝3x，x∈R}，则A×B＝______________.答案：(－∞，3)解析：A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)，A∪B＝(－∞，＋∞)，A∩B＝[3，＋∞)．∴A×B＝(－∞，3)．2.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______________．答案：12解析：这是一个典型的用韦恩图来求解的问题．如图，设两者都喜欢的人数为x，则只喜爱篮球的人数有15－x，只喜爱乒乓球的人数有10－x，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x＋8＝30，解得x＝3，所以15－x＝12，即所求人数为12.3.已知条件p：a∈M＝{x|x2－x<0}，条件q：a∈N＝{x||x|<2}．则p是q的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：M＝(0，1)N＝(－2，2)．4.已知p：－4<x－a<4，q：(x－2)(3－x)>0，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是____________．答案：[－1，6]解析：p：a－4<x<a＋4，q：2<x<3，若p是q的充分条件，则q是p的充分条件，所以即－1≤a≤6.题型一集合的关系与运算-6-\n例1已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．解：由x2－3x－10≤0，得－2≤x≤5.∴A＝[－2，5]．①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得－2≤p＋1且2p－1≤5，得－3≤p≤3.∴2≤p≤3.②当B＝时，即p＋1>2p－1p＜2.BA成立．综上得p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B＝，A∪B＝A，A∪B＝B或AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题．设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．(1)当a＝－4时，分别求A∩B和A∪B；(2)若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．解：(1)由2x2－7x＋3≤0，得≤x≤3，∴A＝.当a＝－4时，解x2－4<0，得－2<x<2，∴B＝{x|－2<x<2}．∴A∩B＝，A∪B＝{x|－2<x≤3}．(2)∁RA＝，当(∁RA)∩B＝B时，B∁RA.①当B＝时，即a≥0时，满足B∁RA；②当B≠时，即a<0时，B＝{x|－<x<}，要使B∁RA，须≤，解得－≤a<0.综上，可得实数a的取值范围是a≥－.题型二数形结合与分类讨论思想在集合问题中的应用例2已知集合A＝，B＝{(x，y)|y＝kx＋3}．若A∩B＝，求实数k的取值范围．解：集合A表示直线y＝－3x－2上除去点(－1，1)外所有点的集合，集合B表示直线y＝kx＋3上所有点的集合，A∩B＝，所以两直线平行或直线y＝kx＋3过点(－1，1)，所以k＝2或k＝－3.已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn，设集合A＝，B＝.试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)A∩B至多有一个元素；(3)当a1≠0时，一定有A∩B≠．解：(1)正确；在等差数列{an}中，Sn＝，则＝(a1＋an)，这表明点-6-\n的坐标适合方程y＝(x＋a1)，于是点均在直线y＝x＋a1上．(2)正确；设(x，y)∈A∩B，则(x，y)中的坐标x、y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a1x＋a＝－4(*)，当a1＝0时，方程(*)无解，此时A∩B＝；当a1≠0时，方程(*)只有一个解x＝，此时，方程组也只有一解故上述方程组至多有一解．∴A∩B至多有一个元素．(3)不正确；取a1＝1，d＝1，对一切的x∈N*，有an＝a1＋(n－1)d＝n>0，>0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1＝1≠0如果A∩B≠，那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x0，y0)，而x0＝＝－＜0，y0＝＝－＜0，这样的(x0，y0)A，产生矛盾，故a1＝1，d＝1时A∩B＝，所以a1≠0时，一定有A∩B≠是不正确的．题型三集合与逻辑知识应用的拓展例3设集合A＝，B＝{x||x－1|＜a}，则“a＝1”是“A∩B≠”的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：由题意得A：－1<x<1，B：1－a<x<a＋1，①由a＝1.A：－1<x<1.B：0<x<2.则A∩B＝{x|0<x<1}≠成立，即充分性成立．②反之：A∩B≠，不一定推得a＝1，如a可能为.综合得“a＝1”是“A∩B≠”的充分不必要条件．设U为全集，A、B是集合，则“存在集合C使得AC，B∁UC”是“A∩B＝”的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充要解析：若存在集合C使得AC，B∁UC，则可以推出A∩B＝；若A∩B＝，由韦恩图可知，一定存在C＝A，满足AC，B∁UC，故“存在集合C使得AC，B∁UC”是“A∩B＝”的充要条件．题型四充要条件的探求与证明例4已知数列{an}的前n项和为Sn＝pn＋q(p≠0，p≠1)，求数列{an}为等比数列的充要条件．解：数列{an}为等比数列，则a1＝p＋q，n≥2，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1.由于p≠0，p≠1，∴n≥2时，数列{an}是公比为p，首项为p－1的等比数列，∴p＋q＝p－1，∴q＝－1.由上面探求的过程可知，数列{an}为等比数列的充要条件即为q＝－1.已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2－mx＋4≥0恒成立，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．解：p：1＜2x＜8，即0＜x＜3，∵p是q的必要条件，∴p是q的充分条件，∴不等式x2－mx＋4≥0对x∈(0，3)恒成立，-6-\n∴m≤＝x＋对x∈(0，3)恒成立．∵x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时等号成立，∴m≤4.1.(2022·湖南卷)“1<x<2”是“x<2”成立的__________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案：充分不必要2.(2022·福建卷)命题“x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是________________．答案：x∈[0，＋∞)，x3＋x<03.(2022·四川卷)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝________．答案：{－1，0，1，2}4.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．答案：－1 1解析：∵A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x|－5<x<1}，又A∩B＝(－1，n)，画数轴可知m＝－1，n＝1.5.(2022·上海卷)设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}．若A∪B＝R，则a的取值范围为__________．答案：(－∞，2]解析：若a＞1，则A＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，A∪B＝R，a－1≤1，则1＜a≤2；若a＝1，A∪B＝R成立，a＜1，则A＝(－∞，a]∪[1，＋∞)，A∪B＝R成立．综上a≤2.6.(2022·福建卷)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足；(ⅰ)T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：①A＝N，B＝N*；②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|－8≤x≤10}；③A＝{x|0<x<1}，B＝R.其中，“保序同构”的集合对的是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号)答案：①②③解析：对①取f(x)＝x＋1，x∈N*，所以B＝N*，A＝N是“保序同构”；同理对②取f(x)＝x－(－1≤x≤3)；对③取f(x)＝tan，所以应填①②③.(本题模拟高考评分标准，满分14分)已知命题：“x∈{x|－1<x<1}，使等式x2－x－m＝0成立”是真命题．(1)求实数m的取值集合M;(2)设不等式(x－a)(x＋a－2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．解：(1)由题意知，方程x2－x－m＝0在(－1，1)上有解，即m的取值范围为函数y＝x2－x在(－1，1)上的值域，易得M＝.(3分)(2)因为x∈N是x∈M的必要条件，所以mN，当a＝1时，解集N为空集，不满足题意；(5分)-6-\n当a>1时，a>2－a，此时集合N＝{x|2－a<x<a}，则解得a>；(9分)当a<1时，a<2－a，此时集合N＝{x|a<x<2－a}，则解得a<－.(13分)综上，a>或a<－.(14分)1.设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{4，5，6，7}，则满足SA且S∩B≠的集合S的个数为____．答案： 56解析：集合A的所有子集共有26＝64个，其中不含4，5，6，7的子集有23＝8个，所以集合S共有56个．2.设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M[1，4]，求实数a的取值范围．解：M[1，4]有三种情况：其一是M＝，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ≥0，分三种情况计算a的取值范围．设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，有Δ＝(－2a)2－(4a＋8)＝4(a2－a－2)．①当Δ＜0时，－1＜a＜2，M＝[1，4]成立；②当Δ＝0时，a＝－1或2，当a＝－1时，M＝{－1}[1，4]，当a＝2时，M＝{2}[1，4]；③当Δ＞0时，a＜－1或a＞2.设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，那么M＝[x1，x2]，M[1，4]1≤x1＜x2≤4即解得2＜a≤.综上，实数a的取值范围是.3.已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2.(1)当b>0时，若x∈R，都有f(x)≤1，证明：0<a≤2；(2)当b>1时，证明：x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.证明：(1)ax－bx2≤1对x∈R恒成立，又b＞0，∴a2－4b≤0，∴0＜a≤2.(2)必要性：∵x∈[0，1]，|f(x)|≤1恒成立，∴bx2－ax≤1且bx2－ax≥－1，显然x＝0时成立，对x∈(0，1]时，a≥bx－且a≤bx＋，函数f(x)＝bx－在x∈(0，1]上单调增，f(x)最大值f(1)＝b－1.函数g(x)＝bx＋在上单调减，在上单调增，函数g(x)的最小值为g＝2，∴b－1≤a≤2，故必要性成立；充分性：f(x)＝ax－bx2＝－b＋，＝×≤1×≤1，f(x)max＝≤1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a－b，f(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a－b中取最小的，又a－b≥－1，∴－1≤f(x)≤1，故充分性成立．综上，命题得证．-6-\n4.命题甲：方程x2＋mx＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m的取值范围．解：使命题甲成立的条件是m＞2.∴集合A＝{m|m>2}．使命题乙成立的条件是Δ2＝16(m－2)2－16<0，∴1＜m＜3.∴集合B＝{m|1<m<3}．若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：①m∈A∩∁RB；②m∈∁RA∩B.若为①，则有A∩∁RB＝{m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}＝{m|m≥3}；若为②，则有B∩∁RA＝{m|1<m<3}∩{m|m≤2}＝{m|1<m≤2}．综合①、②可知所求m的取值范围是{m|1<m≤2或m≥3}．-6-
