第27讲 坐标系与参数方程近几年江苏高考坐标系与参数方程选讲主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，记住互化公式即可，参数方程与直角坐标方程的互化(注意互化前后一致)，解决问题均可化为直角坐标方程来考虑，题目容易．考试说明：序号内 容要求ABC1坐标系的有关概念√2简单图形的极坐标方程√3极坐标方程与直角坐标方程的互化√4参数方程√5直线、圆和椭圆的参数方程√6参数方程与普通方程的互化√7参数方程的简单应用√例1在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2acosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．若直线l与圆C相切，求实数a的值．解：直线l：4x－3y－2＝0，圆C：(x－a)2＋y2＝a2，依题意，得＝|a|，解得a＝－2或.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．(1)求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程；(2)试判定直线l和圆C的位置关系．解：(1)直线l的参数方程为圆C的极坐标方程为ρ＝8sinθ.(2)因为M对应的直角坐标为(0，4)，直线l的普通方程为x－y－5－＝0，故圆心到直线l的距离d＝＝＞5，故直线l与圆C相离．例2在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，C2-5-\n的极坐标方程是ρ＝8sinθ，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中射线θ＝与曲线C1、C2交于不同于原点的点A、B，求|AB|.解：曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin，所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝cos(θ＋)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l被圆C所截得的弦长．解：曲线C的极坐标方程ρ＝cos，可化为ρ＝cosθ－sinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－x＋y＝0，即＋＝.直线l：(t为参数)可化为3x＋4y＋1＝0，圆心到直线的距离d＝＝，弦长l＝2＝.例3在极坐标系中，求曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程．解：(解法1)曲线ρ＝2cosθ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心C为(1，0)．直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，因为圆心C(1，0)关于y＝x的对称点为(0，1)，所以圆C关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1.所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(解法2)设曲线ρ＝2cosθ上任意一点为(ρ′，θ′)，其关于直线θ＝对称点为(ρ，θ)，则将(ρ′，θ′)代入ρ＝2cosθ，得ρ＝2cos，即ρ＝2sinθ.-5-\n所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ.在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R＝2，试判断圆C是否通过极点，并求圆C的极坐标方程．解：任取圆C上一点M(ρ，θ)，由于OC＝2，R＝2，∴圆C通过极点O.连结OC并延长交圆C于点D，连DM，在△ODM中，OM⊥DM，∴OM＝OD·cos∠DOM，∴ρ＝4cos，即圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.例4已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线C1的方程为ρ2＝8ρsinθ－15，曲线C2的方程为(α为参数)．(1)将C1的方程化为直角坐标方程；(2)若C2上的点Q对应的参数为α＝，P为C1上的动点，求PQ的最小值．解：(1)x2＋y2－8y＋15＝0.(2)当α＝时，Q(－2，1)，点Q到C1的圆心的距离为，所以PQ的最小值为－1.已知在平面直角坐标系xOy中，圆M的参数方程为(θ为参数)，以Ox轴为极轴，O为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N是以点为圆心，且过点的圆．(1)求圆M及圆N在平面直角坐标系xOy下的直角坐标方程；(2)求圆M上任一点P与圆N上任一点Q之间距离的最小值．解：(1)圆M：＋＝4，对应直角坐标系下的点为，对应直角坐标系下的点为(0，2)，∴圆N：＋＝1.(2)PQ＝MN－3＝4－3＝1.-5-\n1.(2022·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，求线段AB的长．解：直线l的普通方程为x－1＋(y－2)＝0，即y＝3－x，与抛物线方程联立方程组解得，∴|AB|＝＝8.2.(2022·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.联立方程组解得公共点的坐标为(2，2)，.3.在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．解：如图，在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1，0)．因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC＝＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.4.在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程．解：由题意知，椭圆的长半轴长为a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝4，所以右焦点为(4，0)，将已知直线的参数方程化为普通方程得x－2y＋2＝0，故所求的直线的斜率为，因此所求的方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.-5-\n(本题模拟高考评分标准，满分10分)(2022·南京模考)在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆＋＝1上在第一象限的点，A(2，0)、B(0，2)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB面积的最大值．解：设M(2cosθ，2sinθ)，θ∈.由题知OA＝2，OB＝2，(2分)所以四边形OAMB的面积S＝×OA×2sinθ＋×OB×2cosθ＝2sinθ＋2cosθ＝2sin.(8分)所以当θ＝时，四边形OAMB的面积的最大值为2.(10分)求曲线C1：被直线l：y＝x－所截得的线段长．解：曲线C1：(x－1)2＋y2＝1，直线l：2x－2y－1＝0，圆心C到直线l的距离d＝＝，则线段长2×＝.-5-
