第20讲 数形结合思想数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．它包含两个方面：(1)“以形助数”，把抽象问题具体化．这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题；(2)“以数解形”，把直观图形数量化，使形更加精确．这主要是指用代数或三角的方法去解决几何问题．数形结合思想不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且是解决数学问题的一种重要的方法，因此在高考中占有非常重要的地位．数形结合思想中的“数”主要是指数和数量关系；“形”主要是指图形，如点、线、面、体等．实现数形结合的渠道主要有：(1)实数与数轴上点的对应；(2)函数与图象的对应；(3)曲线与方程的对应；(4)以几何元素及几何条件为背景，通过坐标系来实现的对应，如复数、三角、空间点的坐标等．数形结合思想主要用于解填空题和选择题，有直观、简单、快捷等特点；而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，图形只是辅助手段，最终要用“数”写出完整的解答过程．1.设集合A＝{x|x2－3x－4≤0}，B＝{x|0≤x≤4}，则∁BA＝________．答案：[－1，0)解析：画数轴易得．2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________．答案：3解析：从图象上可知周期为T＝π－＝，则ω＝＝3.3.直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则实数a的取值范围是________．答案：解析：方程1＝x2－|x|＋a转化为x2－|x|＝1－a，令f(x)＝x2－|x|，g(x)＝1－a，在同一个直角坐标系中作出两个函数的图象，可知－＜1－a＜0，即1＜a＜.4.在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________．答案：4解析：直接画图结合函数的对称性可知，当直线的斜率为1时，线段PQ长为最小，最小值为4；或设直线为y＝kx(k＞0)，由方程组解得P、Q两点的坐标，再求线段PQ长的最小值，此法相对计算量较大，不如利用函数图象和性质快捷．合理画出函数图象利用函数的性质是解决函数问题的常用方法．要掌握各种常见函数的图象和性质，选用适当的方法求解问题．题型一利用三角函数的图象解题-12-\n例1如图，在△ABC中，|－|＝3，|－|＝5，|－|＝7.(1)求C的大小；(2)设D为AB的中点，求CD的长．解：(1)依题意BC＝3，CA＝5，AB＝7.由余弦定理，得cosC＝＝－.因为0<C<π，故C＝.(2)由余弦定理，得cosA＝.在△ADC中，AD＝，CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD×cosA＝，于是CD＝.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A(x1，y1)，α∈.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)．(1)若x1＝，求x2；(2)过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，记△AOC及△BOD的面积分别为S1、S2，且S1＝S2，求tanα的值．解：(1)因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝.所以sinα＝，cosα＝.所以x2＝cos＝cosαcos－sinαsin＝－.(2)S1＝sinαcosα＝sin2α.因为α∈，所以α＋∈.所以S2＝－sincos＝－sin＝－cos2α.因为S1＝S2，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－.所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－.-12-\n因为α∈，所以tanα＝2.题型二根据图形选择适当的方法解题例2如图所示，有两条道路OM与ON，∠MON＝60°，现要铺设三条下水管道OA、OB、AB(其中A、B分别在OM、ON上)，若下水管道的总长度为3km.设OA＝a(km)，OB＝b(km)．(1)求b关于a的函数表达式，并指出a的取值范围；(2)已知点P处有一个污水总管的接口，点P到OM的距离PH为km，到点O的距离PO为km，问下水管道AB能否经过污水总管的接口点P？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．解：(1)∵OA＋OB＋AB＝3，∴AB＝3－a－b.∵∠MON＝60°，由余弦定理，得AB2＝a2＋b2－2abcos60°.∴(3－a－b)2＝a2＋b2－ab.整理，得b＝.由a＞0，b＞0，3－a－b＞0，及a＋b＞3－a－b，a＋3－a－b＞b，b＋3－a－b＞a，得0＜a＜.综上，b＝，0＜a＜.(2)以O为原点，OM为x轴，建立如图所示的直角坐标系．∵PH＝，PO＝，∴点P.假设AB过点P.∵A(a，0)，B，即B(·，·)，∴直线AP的方程为y＝(x－a)，即y＝(x－a)．将点B代入，得·＝.化简，得6a2－10a＋3＝0.-12-\n∴a＝∈.答：下水管道AB能经过污水总管的接口点P，a＝(km)．如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB、AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(km)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝.因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ).在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ).AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝sin2(120°－θ)＋4－sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°).当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．题型三利用图象处理解析几何问题例3如图，圆O与离心率为的椭圆T：＋＝1(a＞b＞0)相切于点M(0，1)．(1)求椭圆T与圆O的方程；(2)过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2与两曲线分别交于点A、C与点B、D(均不重合)．①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1、d2，求d＋d的最大值；②若3·＝4·，求l1与l2的方程．解：(1)由题意知＝，b＝1，c2＋b2＝a2，解得a＝2，b＝1，c＝，-12-\n可知椭圆C的方程为＋y2＝1，圆O的方程为x2＋y2＝1.(2)①设P(x0，y0)，因为l1⊥l2，则d＋d＝PM2＝x＋(y0－1)2.因为＋y＝1，所以d＋d＝4－4y＋(y0－1)2＝－3＋.因为－1≤y0≤1，所以当y0＝－时d＋d取得最大值为，此时点P.②设l1的方程为y＝kx＋1，由解得A；由解得C.把A、C中的k置换成－可得B，D，所以＝，＝(－，)，＝，＝.由3·＝4·，得＝，解得k＝±，所以l1的方程为y＝x＋1，l2的方程为y＝－x＋1，或l1的方程为y＝－x＋1，l2的方程为y＝x＋1.在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．(1)解：令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0，则实数b的取值范围是b∈(－∞，0)∪(0，1)．(2)解：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0得x2＋Dx＋F＝0这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b；令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1，所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)证明：假设圆C过定点(x0，y0)，(x0，y0)不依赖于b，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x＋y＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0，(*)为使(*)式对所有满足b＜1(b≠0)的b都成立，必须有1－y0＝0，结合(*)式得x＋y＋2x0－y0＝0，解得或经检验知点(0，1)，(－2，1)均在圆C上，因此圆C过定点．题型四利用图象解函数综合问题例4已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋c(其中c<3)，其导函数y＝h′(x)的图象如图，f-12-\n(x)＝6lnx＋h(x)．(1)求函数f(x)在x＝3处的切线斜率；(2)若函数f(x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围；(3)若函数y＝－x，x∈(0，6]的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，求c的取值范围．解：(1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，其图象为直线，且过(0，－8)、(4，0)两点，∴h′(x)＝2x－8，∴h(x)＝x2－8x＋c，∴f(x)＝6lnx＋x2－8x＋c，∴f′(x)＝＋2x－8，∴f′(3)＝0，∴函数f(x)在点(3，f(3))处的切线斜率为0.(2)f′(x)＝＋2x－8＝，∵x>0，x(0，1)1(1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(1，3)．要使函数f(x)在区间上是单调函数，则解得<m≤.(3)由题意，－x>f(x)在x∈(0，6]上恒成立，得－x>6lnx＋x2－8x＋c在x∈(0，6]上恒成立，即c<－x2＋7x－6lnx在x∈(0，6]上恒成立，设g(x)＝－x2－6lnx＋7x，x∈(0，6]，则c<g(x)min，g′(x)＝－2x－＋7＝＝.∵x>0，∴当x∈时，g′(x)>0，g(x)为增函数；当x∈和(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，∴g(x)的最小值为g和g(6)的较小者．g＝－－6ln＋7×＝－6ln，g(6)＝－36－6ln6＋42＝6－6ln6，g－g(6)＝－6ln＋6ln6＝＋12ln2>0，∴g(x)min＝g(6)＝6－6ln6.又已知c<3，∴c＜6－6ln6.设函数f(x)＝ax2＋ex(a∈R)有且仅有两个极值点x1、x2(x1<x2)．(1)求实数a的取值范围；-12-\n(2)是否存在实数a满足f(x1)＝ex1？如存在，求f(x)的极大值；如不存在，请说明理由．解：(1)f′(x)＝2ax＋ex.显然a≠0，x1、x2是直线y＝－与曲线y＝g(x)＝两交点的横坐标．由g′(x)＝＝0，得x＝1.列表：x(－∞，1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－g(x)g(x)max＝此外注意到：当x<0时，g(x)<0；当x∈[0，1]及x∈(1，＋∞)时，g(x)的取值范围分别为和.于是题设等价于0<－<a<－，故实数a的取值范围为.(2)存在实数a满足题设．证明如下：由(1)知，0<x1<1<x2，f′(x1)＝2ax1＋ex1＝0，故f(x1)＝ax＋ex1＝ex1－ex1＝ex1，故－ex1－e＝0.记R(x)＝－ex－e(0<x<1)，则R′(x)＝－ex<0，于是，R(x)在(0，1)上单调递减．又R＝0，故R(x)有唯一的零点x＝.从而，满足f(x1)＝ex1的x1＝.所以a＝－＝－e.此时f(x)＝－ex2＋ex，f′(x)＝－ex＋ex，又f′(0)>0，f′(1)<0，f′(2)>0，而x1＝∈(0，1)，-12-\n故当a＝－e时，f(x)极大＝f(x1)＝e.1.(2022·江苏卷)已知函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．答案：解析：由题意cos＝sin，即sin＝，＋φ＝kπ＋(－1)k·(k∈Z)，因为0≤φ＜π，所以φ＝.本题主要考查三角函数图象的交点与已知三角函数值求角．2.(2022·江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为V1、V2，若它们的侧面积相等，且＝，则＝________．答案：解析：设甲、乙两个圆柱的底面圆半径和高分别为r1、h1，r2、h2，则2πr1h1＝2πr2h2，＝.又＝＝，所以＝，则＝＝·＝·＝＝.本题主要考查圆柱的侧面积与体积．3.(2022·全国卷)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值是________．答案：16解析：由条件知f(1)＝f(－1)＝0，∴f(－5)＝f(－3)＝0即方程x2＋ax＋b＝0两根为－5，－3，∴a＝8，b＝15.∴f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)＝[(x＋2)2－1][9－(x＋2)2]≤＝16，且当(x＋2)2＝5，即x＝±－2时等号成立，故所求函数的最大值为16.4.已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．答案：0＜k＜1或1＜k＜2解析：函数y＝在直角坐标系中作出函数的图象，可知0＜k＜1或1＜k＜2.5.(2022·上海卷)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1，0)、F2(1，0)，短轴的两个端点分别为B1、B2.(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且⊥，求直线l的方程．解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．-12-\n根据题意知解得a2＝，b2＝，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)容易求得椭圆C的方程为＋y2＝1.当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．由得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)．因为⊥，所以·＝0，即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝＝0，解得k2＝，即k＝±.故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.6.(2022·江苏卷)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解：(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0，60)，C(170，0)，直线BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－.因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB＝.-12-\n设点B的坐标为(a，b)，则kBC＝＝－，kAB＝＝，解得a＝80，b＝120.所以BC＝＝150，因此新桥BC的长为150m.(2)设保护区的边界圆M的半径为rm，则OM＝dm(0≤d≤60)．由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)，即4x＋3y－680＝0.由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r＝＝.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以即解得10≤d≤35.故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．所以当OM＝10m时，圆形保护区的面积最大．(本题模拟高考评分标准，满分16分)已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna(a＞0，a≠1)．(1)求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调增区间；(3)若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围．解：(1)因为函数f(x)＝ax＋x2－xlna(a＞0，a≠1)，所以f′(x)＝axlna＋2x－lna，f′(0)＝0.(2分)因为f(0)＝1，所以函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(4分)(2)由(1)，f′(x)＝axlna＋2x－lna＝2x＋(ax－1)lna.因为当a＞0，a≠1时，总有f′(x)在R上是增函数，(8分)又f′(0)＝0，所以不等式f′(x)＞0的解集为(0，＋∞)，故函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．(10分)(3)因为存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1成立，而当x∈[－1，1]时，|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min，所以只要f(x)max－f(x)min≥e－1即可．(12分)因为x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值所以f(x)在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数，所以当x∈[－1，1]时，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝1，f(x)的最大值f(x)max为f(－1)和f(1)中的最大值．-12-\nf(1)－f(－1)＝(a＋1－lna)－＝a－－2lna，令g(a)＝a－－2lna(a＞0)，因为g′(a)＝1＋－＝＞0，所以g(a)＝a－－2lna在a∈(0，＋∞)上是增函数．而g(1)＝0，故当a＞1时，g(a)＞0，即f(1)＞f(－1)；当0＜a＜1时，g(a)＜0，即f(1)＜f(－1)．(14分)所以，当a＞1时，f(1)－f(0)≥e－1，即a－lna≥e－1，函数y＝a－lna在a∈(1，＋∞)上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f(－1)－f(0)≥e－1，即＋lna≥e－1，函数y＝＋lna在a∈(0，1)上是减函数，解得0＜a≤.综上可知，所求a的取值范围为a∈∪[e，＋∞)．(16分)1.在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝kx＋1与曲线y＝|x＋|－|x－|有四个公共点，则实数k的取值范围是____________．答案：解析：y＝|x＋|－|x－|为偶函数，即考查函数y＝在直角坐标系中作出函数的图象，直线y＝kx＋1过定点(0，1)，直线与曲线y＝(x≥1)在第一象限内相切时，直线的斜率为－，根据图形可知实数k的取值范围是.2.设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；(2)当0＜a＜2时，f(x)在[1，4]上的最小值为－，求f(x)在该区间上的最大值．解：(1)f(x)在上存在单调递增区间，即存在某个子区间(m，n)使得f′(x)＞0.又f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋＋2a，而f′(x)在区间上单调递减，则只需f′＞0即可．由f′＝＋2a＞0，解得a＞－.所以，当a＞－时，f(x)在上存在单调递增区间．(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝，x2＝.所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f(x)在[1，4]上的最大值为f(x2-12-\n)．又f(4)－f(1)＝－＋6a＜0，即f(4)＜f(1)，所以f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－，得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1，4]上的最大值为f(2)＝.3.已知函数y＝asinx＋bcosx＋c的图象上有一个最低点.如果图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，然后向左平移1个单位，可得y＝f(x)的图象．又知f(x)＝3的所有非负实根依次为一个公差是3的等差数列．试求f(x)的解析式和单调递减区间．解：由题意知－a＋b＋c＝1，－＋c＝1，则c＝1＋2a，b＝－a，∴y＝2asin＋1＋2a，∴f(x)＝2asinx＋1＋2a.设f(x)＝3的非负实根为x0，x0＋3，x0＋6，…，则f(x0)＝3，f(x0＋3)＝3，即2asinx0＋1＋2a＝3，2asin＋1＋2a＝3.两式相加得a＝1，因此c＝3，a＝1，b＝－.∴f(x)＝2sinx＋3，单调递减区间为(k∈Z)．-12-
