第30讲 概率统计、计数原理江苏高考考这部分内容时，一般第1问考概率的计算，第2问考分布列、期望的计算．重点考查随机变量的分布列与期望，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，独立重复事件的概率等，同时考查数学分类思想，难度可能有所提升．概率统计考试说明序号内容要求ABC1离散型随机变量及其分布列√2超几何分布√3条件概率及相互独立事件√4n次独立重复试验的模型及二项分布√5离散型随机变量的均值和方差√计数原理考试说明序号内容要求ABC1加法原理与乘法原理√2排列与组合√3二项式定理√例1如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1)求S＝的概率；(2)求S的分布列及数学期望E(S)．解：(1)从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C种不同选法，其中S＝的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种，所以P＝＝.(2)S的所有可能取值为，，.S＝的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种，所以P＝＝.S＝的为等边三角形(如△P1P2P5)，共2种，-9-\n所以P＝＝.又由(1)知P＝＝，故S的分布列为SP所以E(S)＝×＋×＋×＝.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ＝0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．解：(1)从正方体的八个顶点中任取四个点，共有C＝70种不同取法．其中共面的情况共有12种(6个侧面，6个对角面)，则P(ξ＝0)＝＝.(2)任取四个点，当四点不共面时，四面体的体积只有以下两种情况：①四点在相对面且异面的对角线上，体积为1－4×＝，这样的取法共有2种．②四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，体积为.这样的取法共有70－12－2＝56种．∴ξ的分布列为ξ0P数学期望E(ξ)＝×＋×＝.例2口袋中有n(n∈N*)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X，若P(X＝2)＝.求：(1)n的值；(2)X的概率分布与数学期望．解：由题知P(X＝2)＝＝＝，即7n2－55n＋42＝0，即(7n－6)(n－7)＝0，因为n∈N*，所以n＝7.(2)由题知，X的可能取值为1、2、3、4，所以P(X＝1)＝＝，-9-\nP(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝1－－－＝，所以X的概率分布表为X1234P所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.故X的数学期望是.袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为.现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．解：(1)设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，由题意知＝，即＝，化简得n2－n－30＝0.解得n＝6或n＝－5(舍去)，故袋中原有白球的个数为6.(2)由题意，X的可能取值为1，2，3，4.P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝.所以取球次数X的概率分布列为X1234P所求数学期望为E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.例3甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．(1)求甲同学至少有4次投中的概率；-9-\n(2)求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．解：(1)设甲同学在5次投篮中，恰有x次投中，“至少有4次投中”的概率为P，则P＝P(x＝4)＋P(x＝5)＝C＋C＝.(2)由题意ξ＝1，2，3，4，5.P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝××＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝5)＝＝.ξ的分布列为ξ12345Pξ的数学期望E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次．某同学在A处的命中率q1＝0.25，在B处的命中率为q2.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为ξ02345p0.03p1p2p3p4 (1)求q2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ；(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．解：(1)设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A、B相互独立，且P(A)＝0.25，P()＝0.75，P(B)＝q2，P()＝1－q2.根据分布列知：ξ＝0时，P()＝P()P()P()＝0.75(1－q2)2＝0.03，所以1－q2＝0.2，q2＝0.8，(2)当ξ＝2时，P1＝P(B＋B)＝P(B)＋P(B)＝0.75q2(1－q2)×2＝1.5q2(1－q2)＝0.24，当ξ＝3时，p2＝P(A)＝P(A)P()P()＝0.25(1－q2)2＝0.01，当ξ＝4时，p3＝P(BB)＝P()P(B)P(B)＝0.75q＝0.48，当ξ＝5时，p4＝P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P()P(B)＋P(A)P(B)＝0.25q2(1－q2)＋0.25q2＝0.24，所以随机变量ξ的分布列为-9-\nξ02345p0.030.240.010.480.24随机变量ξ的数学期望Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(BB＋BB＋BB)＝P(BB)＋P(BB)＋P(BB)＝2(1－q2)q＋q＝0.896，该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48＋0.24＝0.72，由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大．例4在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．解：(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)＝＝，P(B)＝＝.∵事件A与B相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)＝P(A)·P()＝P(A)·[1－P(B)]＝×＝(或P(A)＝＝)．(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝＝.∵X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P(X＝0)＝P()＝××＝，P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝＝，P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝＝，P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝＝，∴X的分布列为X0123P∴X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．-9-\n(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．解：(1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝.(2)X所有的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝C···＝；P(X＝1)＝C···＋C··＝；P(X＝2)＝C···＋C··＝；P(X＝3)＝C···＝.所以X的分布列为X0123P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.1.(2022·江苏卷)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1、x2、x3，随机变量X表示x1、x2、x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．解：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球．所以P＝＝＝.(2)随机变量X所有可能的取值为2，3，4.X＝4表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝＝；X＝3表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X＝3)＝＝＝；于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－－＝.所以随机变量X的概率分布如下表：X234-9-\nP因此随机变量X的数学期望为E(X)＝2×＋3×＋4×＝.2.某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%.生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元．设生产各种产品相互独立．(1)记X(万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率． 解：(1)由题设知，X的可能取值为10、5、2、－3，且P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.由此得X的分布列为X1052－3P0.720.180.080.02(2)设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有(4－n)件．由题设知4n－(4－n)≥10，解得n≥，又n∈N，得n＝3或n＝4.所求概率为P＝C×0.83×0.2＋0.84＝0.8192.故生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192.3.设整数n≥4，P(a，b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a、b∈{1，2，3，…，n}，a＞b.(1)记An为满足a－b＝3的点P的个数，求An；(2)记Bn为满足(a－b)是整数的点P的个数，求Bn.解：(1)点P的坐标满足条件1≤b＝a－3≤n－3，所以An＝n－3.(2)设k为正整数，记fn(k)为满足条件以及a－b＝3k的点P的个数．只要讨论fn(k)≥1的情形．由1≤b＝a－3k≤n－3k知fn(k)＝n－3k，且k≤，设n－1＝3m＋r，其中m∈N*，r∈{0，1，2}，则k≤m，所以Bn＝fn(k)＝(n－3k)＝mn－＝，将m＝代入上式，化简得Bn＝－，所以Bn＝点评：本题主要考查计数原理，考查探究能力，B级要求，是难题．4.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．-9-\n解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8C对相交棱．∴P(ξ＝0)＝＝＝.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，∴P(ξ＝)＝＝＝，P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝.∴随机变量ξ的分布列是ξ01P(ξ)∴其数学期望E(ξ)＝1×＋×＝.(本题模拟高考评分标准，满分10分)(2022·南京、盐城模考)某中学有4位学生申请A、B、C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．(1)求恰有2人申请A大学的概率；(2)求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．解：(1)记“恰有2人申请A大学”为事件A，P(A)＝＝＝.答：恰有2人申请A大学的概率为.(4分)(2)X的所有可能值为1，2，3.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝.X的概率分布列为X123P(8分)所以X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝.(10分)(1)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图1所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域用不同颜色的鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？图1-9-\n(2)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图2所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花．图2①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；②记花圃中红色鲜花区域的块数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．图3解：(1)根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有4×3×2×2＝48种．(2)①设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图3，当区域A、D同色时，共有5×4×3×3＝180种；当区域A、D不同色时，共有5×4×3×2×2＝240种；因此，所有基本事件总数为180＋240＝420种．(由于只有A、D，B、E可能同色，故可按选用3色、4色、5色分类计算，求出基本事件总数为A＋2A＋A＝420种．)又A、D为红色时，共有4×3×3＝36种；B、E为红色时，共有4×3×3＝36种；因此，事件M包含的基本事件有36＋36＝72种．所以，P(M)＝＝.②随机变量ξ的分布列为012P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.-9-
