专题七 概率与统计第1讲 计数原理、二项式定理真题试做1．(2012·浙江高考，理6)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )．A．60种B．63种C．65种D．66种2．(2012·重庆高考，理4)8的展开式中常数项为( )．A.B.C.D．1053．(2012·浙江高考，理14)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝__________.4．(2012·广东高考，理10)6的展开式中x3的系数为__________．(用数字作答)考向分析高考中对本节注重基础知识和基本解题方法、规律的考查，伴随运算能力的考查，基本都为中等难度试题．预测下一步对排列组合会更加注重分类、分步计算原理的考查，注重与概率的联系，更要加强对本节知识的理解深度；二项式定理的应用可能会对x的n次多项式(1＋ax)n的考查升温，尤其是利用(1＋ax)n的展开式考查赋值思想．热点例析热点一 分类加法和分步乘法计数原理【例1】方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同．在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )．A．60条B．62条C．71条D．80条规律方法“分类”与“分步”的区别：关键是看事件的完成情况，如果每种方法都能将事件完成是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成是分步，分类要用分类加法计数原理将种数相加；分步要用分步乘法计数原理将种数相乘．变式训练1从A，B，C，D，E五名学生中选出四名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )．A．24B．48C．72D．120热点二 求展开式中的指定项【例2】在6的二项展开式中，常数项等于__________．规律方法运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Can－rbr，其中n∈N*，r∈N，r≤n.注意与(b＋a)n的展开式虽然相同，但其展开式中的某一项是不相同的，所以一定要注意顺序问题．变式训练2若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为__________．热点三 求展开式中的各项系数的和【例3】若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为( )．A．1B．－1C．0D．2规律方法求展开式中系数和问题，往往根据展开式的特点赋值．变式训练3若(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝__________.思想渗透-4-\n分类讨论思想在排列组合中的应用由实际意义引起的分类讨论在排列组合问题中比较常见，这是因为分类、分步是解决排列组合问题的两个指导思想．一般采取先分类再分步的策略，分类时要先确定分类标准，是根据特殊元素来分类还是根据特殊位置来分类，然后再解决每一类中的分步问题，最后汇总．在分类时注意标准的选取，做到不重不漏．【典型例题】将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有________种．解析：分三类：第一格填2，则第二格有A种填法，第三、四格自动对号入座，不能自由排列；第一格填3，则第三格有A种填法，第二、四格自动对号入座，不能自由排列；第一格填4，则第四格有A种填法，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；共计有3A＝9种填法．答案：91．(2012·天津高考，理5)在5的二项展开式中，x的系数为( )．A．10B．－10C．40D．－402．(2012·广东实验高中模拟，理6)已知n∈N*，若对任意实数x都有xn＝a0＋a1(x－n)＋a2(x－n)2＋…＋an(x－n)n，则an－1的值为( )．A．n2B．nnC.D.3．(2012·陕西高考，理8)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )．A．10种B．15种C．20种D．30种4．(2012·山东高考，理11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )．A．232B．252C．472D．4845．(2012·辽宁高考，理5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )．A．3×3!B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!6．设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝( )．A．0B．1C．11D．127．(2012·广东深圳高级中学期末，理5)值域为{2,5,10}，其对应关系为y＝x2＋1的函数的个数( )．A．1B．27C．39D．88．一袋中有除颜色外其他均相同的6个球，其中3个黑球，红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．D 解析：和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有＝1(种)，取2奇数2偶数的取法有＝60(种)，取4个数均为奇数的取法有＝5(种)，故不同的取法共有1＋60＋5＝66(种)．2．B 解析：二项式8的通项为Tr＋1＝()8－r(2)－r＝2－r-4-\n，令＝0得r＝4，所以二项展开式的常数项为T5＝2－4C＝，故选B.3．10 解析：由x5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5可得，可解得4．20 解析：Tr＋1＝·(x2)r·6－r＝·x3r－6，∴要求展开式中x3的系数，即3r－6＝3，∴r＝3，即T4＝·x3＝20x3，∴x3的系数为20.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】B 解析：因为a，b不能为0，先确定a，b的值有种，则c有种，即所形成的抛物线有＝80条．当b＝±2时，b2的值相同，重复的抛物线有＝9条；当b＝±3时，b2的值相同，重复的抛物线有＝9条，所以不同的抛物线共有＝62条．【变式训练1】C 解析：第一类，不选A，此时参赛方案有种；第二类，选A，此时先选元素(人)，有种，再排元素有种方法，所以此种情况下参赛方法共有种．所以共有＝24＋48＝72(种)．选C.【例2】－160 解析：6的二项展开式中的常数项为·(x)3·3＝－160.【变式训练2】56 解析：∵Cn2＝Cn6，∴n＝8.Tr＋1＝r＝，当8－2r＝－2时，r＝5.∴系数为＝56.【例3】A 解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋)4·(2－)4＝1.【变式训练3】1创新模拟·预测演练1．D 解析：Tr＋1＝Cr5(2x2)5－rr＝(－1)r25－rCr5x10－3r，∴当10－3r＝1时，r＝3.∴(－1)325－3C35＝－40.2．A 解析：xn＝[n＋(x－n)]n，根据二项式通项公式得an－1＝Cn＝n2.正确选项为A.3．C 解析：甲获胜有三种情况，第一种共打三局，甲全胜，此时，有一种情形；第二种共打四局，甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜，此时，共有C＝3种情形；第三种共打五局，甲第五局获胜且前四局只有两局获胜，此时，共有C＝6种情形，所以甲赢共有10种情况，同理乙赢也有10种情形，故选C.4．C 解析：完成这件事可分为两类，第一类3张卡片颜色各不相同共有＝256种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有＝216种，由分类加法计数原理得共有472种，故选C.5．C 解析：完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有-4-\n种排法；第二步排列每个家庭中的三个成员，共有种排法．由乘法原理可得不同的坐法种数有，故选C.6．D 解析：∵52能被13整除，∴512012可化为(52－1)2012，其二项式系数为Tr＋1＝·(－1)r.故(52－1)2012被13除余数为·(－1)2012＝1，则当a＝12时，512012＋12被13整除．7．B 解析：分别由x2＋1＝2，x2＋1＝5，x2＋1＝10解得x＝±1，x＝±2，x＝±3，由函数的定义，定义域中元素的选取分四种情况：①取三个元素：有＝8种；②取四个元素：先从±1，±2，±3三组中选取一组，再从剩下的两组中选两个元素，故共有＝12种；③取五个元素：C＝6种；④取六个元素：1种．由分类计数原理，共有8＋12＋6＋1＝27种．8．解：分三类：若取1个黑球，和另三个球排4个位置，有＝24种不同的排法；若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有＝36种不同的排法；若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有＝12种不同的排法；所以有24＋36＋12＝72种不同的排法．-4-
