专题一 集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲 集合与简单逻辑用语1.命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是______________________________．答案：若tanα≠1，则α≠2.集合M＝{x|lgx>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝________．答案：(1，2]解析：∵M＝(1，＋∞)，N＝[－2，2]，∴M∩N＝(1，2]．3.若命题“x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是______________．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：不等式对应的二次函数开口向上，则Δ＝(a－1)2－4＞0.4.若集合A＝{y|y＝x，－2≤x≤2}，B＝，则A∪B＝______________．答案：(－∞，]解析：集合A＝[－，]，B＝(－∞，1]，∴A∪B＝(－∞，]．5.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有____________人.答案：8解析：画韦恩图．设同时参加数学和化学小组的有x人，则20－x＋11＋x＋4＋9－x＝36，x＝8.6.设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________________．答案：解析：p：|4x－3|≤1－1≤4x－3≤1，∴≤x≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0(x－a)[x－(a＋1)]≤0，∴a≤x≤a＋1.由题意知p是q的充分不必要条件，故有或则0≤a≤.7.已知a、b均为实数，设集合A＝，B＝，且A、B都是集合{x|0≤x≤1}的子集．如果把n－m叫做集合{x|m≤x≤n}的“长度”，那么集合A∩B的“长度”的最小值是________．答案：解析：0≤a≤，≤b≤1，利用数轴分类讨论可得集合A∩B的“长度”的最小值为－＝.-3-\n8.已知M＝，N＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，若M∩N＝，则a的值为________．答案：1，－1，，－4解析：集合M表示挖去点(2，3)的直线，集合N表示一条直线，因此由M∩N＝知，点(2，3)在集合N所表示的直线上或两直线平行，由此求得a的值为1，－1，，－4.9.设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有正整数根的充要条件是n＝________________．答案：3或4解析：令f(x)＝x2－4x＋n，n∈N*，f(0)＝n＞0，∴f(2)≤0即n≤4，故n＝1，2，3，4，经检验，n＝3，4适合，或直接解出方程的根，x＝2±，n∈N*，只有n＝3，4适合．10.对任意两个集合M、N，定义：M－N＝{x|x∈M，且xN}，M*N＝(M－N)∪(N－M)，设M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}，则M*N＝____________．答案：{y|y>3或－3≤y<0}解析：∵M＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}＝{y|－3≤y≤3}，∴M－N＝{y|y>3}，N－M＝{y|－3≤y<0}，∴M*N＝(M－N)∪(N－M)＝{y|y>3}∪{y|－3≤y<0}＝{y|y>3或－3≤y<0}．11.记函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B.(1)求集合A；(2)若BA,求实数a的取值范围．解：(1)2－≥0≥0≥0(x－1)(x＋1)≥0且x≠－1x≥1或x＜－1.∴集合A＝{x|x≥1或x＜－1}．(2)(x－a－1)(2a－x)＞0(a<1)(x－a－1)(x－2a)＜0.∵a＜1，∴2a＜a＋1.∴2a＜x＜a＋1.∴不等式的解为2a＜x＜a＋1.∴集合B＝{x|2a＜x＜a＋1}．∵BA，∴2a≥1或a＋1≤－1，∴a≥或a≤－2.又a<1，则实数a的取值范围是(－∞，－2]∪.12.已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，集合B＝{y|y＝x2－2x＋a}，集合C＝{x|x2－ax－4≤0}．命题p：A∩B≠；命题q：AC.(1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．解：(1)A＝[1，2]，B＝[a－1，＋∞)，若p为假命题，则A∩B＝，故a－1＞2，即a＞3.(2)命题p为真，则a≤3.命题q为真，即转化为当x∈[1，2]时，f(x)＝x2－ax－4≤0恒成立，(解法1)则解得a≥0.(解法2)当x∈[1，2]时，a≥x－恒成立，而x－在[1，2]上单调递增，故a≥＝0.-3-\n故实数a的取值范围是[0，3]．13.设数列{an}的各项都不为零，求证：对任意n∈N*且n≥2，都有＋＋…＋＝成立的充要条件是{an}为等差数列．证明：(充分性)若{an}为等差数列，设其公差为d，则＋＋…＋＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝＝＝.(必要性)若＋＋…＋＝，则＋＋…＋＋＝，两式相减得＝－a1＝nan－(n－1)an＋1. ①于是有a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2， ②由①②得nan－2nan＋1＋nan＋2＝0，所以an＋1－an＝an＋2－an＋1(n≥2)．又由＋＝a3－a2＝a2－a1，所以n∈N*，2an＋1＝an＋2＋an，故{an}为等差数列．-3-
